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第2讲 随机变量及其分布列
一、选择题
1．(2022·新课标全国卷Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 ( )．
A．0.8 B.0.75
C．0.6 D.0.45
解析 已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可依据条件概率公式，得P＝＝0.8.
答案 A
2．(2022·杭州模拟)在“石头、剪刀、布”的玩耍中，规定：“石头赢剪刀”“剪刀赢布”“布赢石头”．现有甲、乙两人玩这个玩耍，共玩3局，每一局中每人等可能地独立选择一种手势．设甲赢乙的局数为ξ，则随机变量ξ的数学期望是 ( )．
A. B.
C. D.1
解析 ξ的可能取值0,1,2,3.考查每一局的状况，易知在每一局中甲赢的概率为.
P(ξ＝0)＝××＝；
P(ξ＝1)＝3×××＝；
P(ξ＝2)＝3×××＝；
P(ξ＝3)＝××＝.
因此可求得期望E(ξ)＝1.
答案 D
3．(2022·温州模拟)某人射击一次击中的概率为，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为 ( )．
A. B.
C. D.
解析 该人3次射击，恰有两次击中目标的概率是
P1＝C·2·，
三次全部击中目标的概率是P2＝C·3.
所以此人至少有两次击中目标的概率是
P＝P1＋P2＝C·2·＋C3＝.
答案 C
4．(2022·合肥模拟)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)＝3，则D(X)等于 ( )．
A. B.
C. D.
解析 依据题目条件，每次摸到白球的概率都是p＝，满足二项分布，则有E(X)＝np＝5×＝3，解得m＝2，那么D(X)＝np(1－p)＝5××＝.
答案 B
二、填空题
5．(2022·绍兴质量调测)有一种玩耍规章如下：口袋里有5个红球和5个黄球，一次摸出5个，若颜色相同则得100分；若4个球颜色相同，另一个不同，则得50分，其他状况不得分．小张摸一次得分的期望是________分．
解析 ∵小张得100分的概率为，得50分的概率为，∴小张得分的数学期望为E(X)＝＝(分)．
答案
6．(2022·台州模拟)有三位同学过节日互赠礼物，每人预备一件礼物，先将礼物集中在一个袋子中，每人从中随机抽取一件礼物，设恰好抽到自己预备的礼物的人数为ξ，则ξ的数学期望E(ξ)＝__________.
解析 ξ的可能取值为0,1,3，P(ξ＝0)＝＝；
P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝3)＝＝；E(ξ)＝0×＋1×＋3×＝1.
答案 1
7．(2022·金丽衢十二校联考)有甲、乙、丙三位同学，投篮命中的概率如下表：
同学
甲
乙
丙
概率
0.5
a
a
现请三位同学各投篮一次，设ξ表示命中的次数，若E(ξ)＝，则a＝__________.
解析 ξ可取值0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝0.5×(1－a)×(1－a)＝0.5(1－a)2；
P(ξ＝1)＝0.5×(1－a)×(1－a)＋2×0.5×a×(1－a)＝0.5(1－a2)；
P(ξ＝2)＝0.5×a2＋2×0.5×a×(1－a)＝0.5a(2－a)；
P(ξ＝3)＝0.5×a×a＝0.5a2.
∴E(ξ)＝P(ξ＝0)×0＋P(ξ＝1)×1＋P(ξ＝2)×2＋P(ξ＝3)×3＝.
即0.5(1－a2)＋a(2－a)＋1.5a2＝，解得a＝.
答案
8．袋中有大小、质地相同的5个球，2白3黑，现从中摸球，规定：每次从袋中随机摸取一球，若摸到的是白球，则将此球放回袋中，并再放同样的一个白球入袋；若摸到的是黑球，则将球放回袋中，并再放同样的一个黑球入袋，连续摸两次球且按规定操作后袋中白球的个数记为X，则X的数学期望为__________．
解析 首先，连续摸两次球且按规定操作后袋中白球的个数可能为2,3,4.
P(X＝2)＝P(两次都摸到黑球)＝×＝；
P(X＝4)＝P(两次都摸到白球)＝×＝；
P(X＝3)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)＝.
X的分布列为
X
2
3
4
P
E(X)＝2×＋3×＋4×＝.
答案
三、解答题
9．(2022·天津卷)某高校志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到期望学校进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
解 (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为大事A，则
P(A)＝＝.
所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.
(2)随机变量X的全部可能值为0,1,2,3.
P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)．
所以，随机变量X的分布列是
X
0
1
2
3
P
随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
10．(2022·益阳模拟)甲、乙、丙三名音乐爱好者参与某电视台举办的演唱技能海选活动，在本次海选中有合格和不合格两个等级．若海选合格记1分，海选不合格记0分．假设甲、乙、丙海选合格的概率分别为，，，他们海选合格与不合格是相互独立的．
(1)求在这次海选中，这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率；
(2)记在这次海选中，甲、乙、丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．
解 (1)记“甲海选合格”为大事A，“乙海选合格”为大事B，“丙海选合格”为大事C，“甲、乙、丙至少有一名海选合格”为大事E，则
P(E)＝1－P( )＝1－××＝.
(2)ξ的全部可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝P( )＝；
P(ξ＝1)＝P(A )＋P( B )＋P( C)＝；
P(ξ＝2)＝P(A C)＋P(A B )＋P(BC)＝；
P(ξ＝3)＝P(ABC)＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
11．(2022·潍坊模拟)某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分．某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排解两个错误选项，另2道只能排解一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排解的选项中随机选一个选项做答，且各题做答互不影响．
(1)求该考生本次测验选择题得50分的概率；
(2)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．
解 (1)设选对一道“能排解2个选项的题目”为大事A，选对一道“能排解1个选项的题目”为大事B，则P(A)＝，P(B)＝.
该考生选择题得50分的概率为：
P(A)·P(A)·P(B)·P(B)＝2·2＝.
(2)考生所得分数X＝30,35,40,45,50.
P(X＝30)＝2·2＝；
P(X＝35)＝C2·2＋2·C··＝；
P(X＝40)＝2·2＋C·2·C··＋2·2＝；
P(X＝45)＝C2·2＋2·C··＝；
P(X＝50)＝2·2＝.
所以，该考生所得分数X的分布列为
X
30
35
40
45
50
P
∴E(X)＝30×＋35×＋40×＋45×＋50×＝.
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