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其次章 ２．4 第4课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1．给出下列结论：
①当a<0时， ＝a3；
②＝|a|(n>1，n∈N*，n为偶数)；
③函数f(x)＝－(3x－7)0的定义域是{x|x≥2且x≠}；
④若2x＝16,3y＝，则x＋y＝7.
其中正确的是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
答案 B
解析 (a2)>0 a3<0，故①错，
∵2x＝16 ∴x＝4 ∵3y＝ ∴y＝－3
∴x＋y＝4＋(－3)＝1 故④错．
2．函数f(x)＝3－x－1的定义域、值域是( )
A．定义域是R，值域是R
B．定义域是R，值域是(0，＋∞)
C．定义域是R，值域是(－1，＋∞)
D．以上都不对
答案 C
解析 f(x)＝()x－1
∵()x>0 ∴f(x)>－1.
3．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝()－1.5，则( )
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
答案 D
解析 y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5
∵y＝2x在定义域内为增函数
∴y1>y3>y2.
4．下列函数中值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝ B．y＝()1－x
C．y＝ D．y＝
答案 B
5．函数f(x)＝·ax(a>1)的图象的大致外形是( )
答案 B
解析 f(x)＝
6．设集合A＝{(x，y)|＋＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
答案 A
解析 在同一坐标系下画出椭圆＋＝1及函数y＝3x的图象，
结合图形不难得知它们的图象有两个公共点，因此A∩B中的元素有2个，其子集共有22＝4个，选A.
7．若函数y＝ax＋b－1(a>0且a≠1)的图象经过其次、三、四象限，则确定有( )
A．0<a<1且b>0 B．a>1且b>0
C．0<a<1且b<0 D．a>1且b<0
答案 C
解析 结合图象可得．(右图)
8．设函数f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，f(2)＝4，则 ( )
A．f(－2)>f(－1)
B．f(－1)>f(－2)
C．f(1)>f(2)
D．f(－2)<f(2)
答案 A
解析 ∵f(2)＝4，∴a－|2|＝4，a＝，∴f(x)＝－|x|＝2|x|，则函数f(x)为偶函数，x≥0时，递增，x<0时，递减，故选A.
9．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
答案 C
解析 由题意易知f(x)＝，画出f(x)的图象，易知f(x)的最大值为6.
二、填空题
10．函数y＝ax(a>0且a≠1)中，若x∈[1,2]时最大值比最小值大，则a的值为________．
答案 或
解析 不论a取何值y＝ax在[1,2]上都是单调的．
∴＝|f(1)－f(2)|＝|a－a2|.
解得a＝或.
11．函数f(x)＝，则f(－3)的值为________．
答案
解析 f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝f(1＋2)＝f(3)＝2－3＝.
12．已知f(x)＝ax(a>1)，g(x)＝bx(b>1)，当f(x1)＝g(x2)＝2时，有x1>x2，则a、b的大小关系是________．
答案 a<b
解析 x1＝loga2>x2＝logb2>0，∴log2a<log2b.
∴a<b.
三、解答题
13．已知f(x)＝(0＜a＜1)．
(1)证明f(x)是定义域上的减函数；
(2)求f(x)的值域．
答案 (1)略 (2)(－1,1)
解析 (1)由已知f(x)的定义域为R，
f(x)＝＝＝1－，
设x1，x2∈R，且x1＜x2，则
∵0＜a＜1, ∴y＝ax为减函数
∴当x2＞x1时，a2x2－a2x1＜0，
又a2x1＋1＞0, a2x2＋1＞0，
故当x2＞x1时，f(x2)－f(x1)＜0
即f(x2)＜f(x1)，所以f(x)在R上是减函数
(2)令y＝f(x)＝，解得a2x＝
∵a2x＞0， ∴＞0，解得－1＜y＜1.
故f(x)的值域为(－1,1)．
14．是否存在实数a，使函数y＝a2x＋2ax－1(a>0, 且a≠1)在 [－1,1]上的最大值是14?
答案 a＝3或a＝
解析 令t＝ax，则y＝t2＋2t－1.
(1)当a>1时，∵x∈[－1,1]，
∴ax∈[，a]，即t∈[，a]．
∴y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2在[，a]上是增函数(对称轴t＝－1<)．
∴当t＝a时ymax＝(a＋1)2－2＝14.
∴a＝3或a＝－5.∵a>1，∴a＝3.
(2)当0<a<1时t∈[a，]，
∵y＝(t＋1)2－2在[a，]上是增函数，
∴ymax＝(＋1)2－2＝14，
∴a＝或a＝－.∵0<a<1，∴a＝.
综上，a＝3或a＝.
15．已知f(x)＝(ax－a－x)(a>0且a≠1)．
(1)推断f(x)的奇偶性；
(2)争辩f(x)的单调性；
(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．
答案 (1)奇函数 (2)在R上是增函数 (3)(－∞，－1]
解析 (1)函数定义域为R，关于原点对称．
又由于f(－x)＝(a－x－ax)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)当a>1时，a2－1>0，y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x为增函数．所以f(x)为增函数．
当0<a<1时，a2－1<0，
y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，
从而y＝ax－a－x为减函数．所以f(x)为增函数．
故当a>0，且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．
(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，
所以在区间[－1,1]上为增函数．
所以f(－1)≤f(x)≤f(1)．
所以f(x)min＝f(－1)＝(a－1－a)＝·＝－1.
所以要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，则只需b≤－1.
故b的取值范围是(－∞，－1]．
拓展练习·自助餐
1．下列等式＝2a；＝；－3＝中确定成立的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
答案 A
解析 ＝a≠2a；＝－<0，＝＝>0，
∴≠；－3<0，>0，故－3≠.故选A.
2．函数y＝的定义域是( )
A．(0,2] B．(－∞，2]
C．(2，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 B
解析 由4－2x≥0，得x≤2.
3．函数y＝的值域是( )
A．[0，＋∞) B．[0,4]
C．[0,4) D．(0,4)
答案 B
4．若0<a<1,0<b<1，且alogb(x－3)<1，求x的取值范围．
答案 (3,4)
解析 logb(x－3)>0，∴0<x－3<1∴3<x<4.
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