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第十章 10.9 第九课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1．若ξ～B(n，p)且Eξ＝6，Dξ＝3，则P(ξ＝1)的值为( )
A．3·2－2 B．3·2－10
C．2－4 D．2－8
答案 B
解析 Eξ＝np＝6，Dξ＝np(1－p)＝3⇒p＝，n＝12，P(ξ＝1)＝C()12＝3·2－10.
2．设随机变量的分布列如表所示，且Eξ＝1.6，则a×b＝( )
ξ
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
A.0.2 B．0.1
C．0.15 D．0.4
解析 由分布列的性质得0.1＋a＋b＋0.1＝1，∴a＋b＝0.8 ①
又由Eξ＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3 ②
由①②解得a＝0.3，b＝0.5，
∴a×b＝0.3×0.5＝0.15.
答案 C
3．已知离散型随机变量ξ，η，满足ξ＋η＝8，且ξ～B(10,0.6)，则Eη，Dη分别是( )
A．6、2.4 B．2、2.4
C．2、5.6 D．6、5.6
解析 由均值、方差的性质，ξ＋η＝8，得η＝8－ξ，
Eη＝8－Eξ＝8－10×0.6＝2，
Dη＝D(8－ξ)＝(－1)2Dξ＝10×0.6×0.4＝2.4.
答案 B
4．设投掷1颗骰子的点数为ξ，则( )
A．Eξ＝3.5，Dξ＝3.52 B．Eξ＝3.5，Dξ＝
C．Eξ＝3.5，Dξ＝3.5 D．Eξ＝3.5，Dξ＝
答案 B
5．一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为( )
A．2.44 B．3.376
C．2.376 D．2.4
答案 C
6．随机变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，若Eξ＝，则Dξ的值是( )
A. B.
C. D.
解析 ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，又a＋b＋c＝1，且Eξ＝－1×a＋1×c＝c－a＝.联立三式得a＝，b＝，c＝，∴Dξ＝(－1－)2×＋(0－)2×＋(1－)2×＝.
答案 C
二、填空题
7．若随机变量ξ的分布列为：P(ξ＝m)＝，P(ξ＝n)＝a.若Eξ＝2，则Dξ的最小值等于________．
答案 0
解析 依题意有a＝1－＝，所以Eξ＝m＋n＝2，即m＋2n＝6，又Dξ＝(m－2)2＋(n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2，所以当n＝2时，Dξ取最小值为0.
8．设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．
答案 ，25
解析 Dξ＝100P(1－P)
≤100·()2
＝25
当且仅当P＝1－P.
即P＝时，Dξ最大为25.
9．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内大事E发生，该公司要赔偿a元，设一年内大事E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的10%，公司应要求投保人交的保险金为________元．
解析 设要求投保人交x元，公司的收益额ξ作为随机变量，则
p(ξ＝x)＝ 1－p，p(ξ＝x－a)＝p，
故Eξ＝x(1－p)＋(x－a)p＝x－ap，所以
x－ap＝0.1a
∴x＝(0.1＋p)a.
答案 (0.1＋p)a
三、解答题
10．一台设备由三大部件组成，在设备运转中，各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和0.30.假设各部件的状态相互独立，以ξ表示同时需要调整的部件数，试求ξ的数学期望Eξ和方差Dξ.
解析 P(ξ＝0)＝P()＝0.9×0.8×0.7＝0.504；
P(ξ＝1)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3＝0.398；
P(ξ＝2)＝P(A1A2)＋P(A1A3)＋P(A2A3)＝0.1×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.3＝0.092；
P(ξ＝3)＝P(A1A2A3)＝0.1×0.2×0.3＝0.006.
∴Eξ＝1×0.398＋2×0.092＋3×0.006＝0.6，
Dξ＝Eξ2－(Eξ)2＝1×0.398＋4×0.092＋9×0.006－0.62＝0.82－0.36＝0.46
11．某制药厂新研制出一种抗感冒药，经临床试验疗效显著，但由于每位患者的身体素养不同，可能有少数患者服用后会毁灭略微不良反应，甲、乙、丙三位患者均服用了此抗感冒药，若他们毁灭略微不良反应的概率分别是，，.
(1)求恰好有一人毁灭略微不良反应的概率；
(2)求至多有两人毁灭略微不良反应的概率；
(3)设毁灭略微不良反应的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
解析 (1)患者甲毁灭略微不良反应，患者乙、丙没有毁灭略微不良反应的概率为××＝；患者乙毁灭略微不良反应，患者甲、丙没有毁灭略微不良反应的概率为××＝；患者丙毁灭略微不良反应，患者甲、乙没有毁灭略微不良反应的概率为××＝，所以，恰好有一人毁灭略微不良反应的概率为P1＝＋＋＝.
(2)有两人毁灭略微不良反应的概率P2＝××＋××＋××＝＋＋＝.
三人均没有毁灭略微不良反应的概率P0＝××＝，所以，至多有两人毁灭略微不良反应的概率为＋＋＝.
(3)依题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，由(1)(2)得，
P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝1－－－＝.
于是ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
ξ的数学期望Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
12．甲、乙、丙三人组成一组参与一个闯关玩耍团体赛．三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，乙、丙都闯关成功的概率为.每人闯关成功记2分，三人得分之和记为小组团体总分．
(1)求乙、丙各自闯关成功的概率；
(2)设团体总分为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
解析 (1)设乙闯关成功的概率为P1，丙闯关成功的概率为P2，则由题意得解得P1＝，P2＝.
即乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为.
(2)由题意知，ξ的可能取值为0,2,4,6，且P(ξ＝0)＝(1－)×(1－)×(1－)＝；P(ξ＝2)＝×(1－)×(1－)＋(1－)××(1－)＋(1－)×(1－)×＝；P(ξ＝4)＝(1－)××＋×(1－)×＋××(1－)＝；P(ξ＝6)＝××＝.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
0
2
4
6
P
所以Eξ＝0×＋2×＋4×＋6×＝.
13．某同学参与3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成果的概率为，其次、第三门课程取得优秀成果的概率分别为p，q(p>q)，且不同课程是否取得优秀成果相互独立．记ξ为该生取得优秀成果的课程数，其分布列为
ξ
0
1
2
3
P
a
b
(1)求该生至少有1门课程取得优秀成果的概率；
(2)求p、q的值；
(3)求数学期望Eξ.
解析 大事Ai表示“该生第i门课程取得优秀成果”i＝1,2,3，由题意知P(A1)＝，P(A2)＝p，P(A3)＝q.
(1)由于大事“该生至少有1门课程取得优秀成果”，与大事“ξ＝0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成果的概率是1－P(ξ＝0)＝1－＝.
(2)由题意知P(ξ＝0)＝P(123)
＝(1－p)(1－q)＝，
P(ξ＝3)＝P(A1A2A3)＝pq＝.
整理得pq＝，p＋q＝1.
由p>q，可得p＝，q＝.
(3)由题意知a＝P(ξ＝1)＝P(A123)＋P(1A23)＋P(12A3)＝(1－p)(1－q)＋p(1－q)＋(1－p)q＝.
b＝P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝.
Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝.
14．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.
(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为大事A，试列举A包含的基本大事；
(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列及其数学期望Eξ.
解析 (1)由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．
由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本大事为：
(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．
(2)由于m的全部不同取值为－2，－1,0,1,2,3，
所以ξ＝m2的全部不同取值为0,1,4,9，
且有P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝.P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝9)＝.
故ξ的分布列为：
ξ
0
1
4
9
P
所以Eξ＝0×＋1×＋4×＋9×＝.
15．某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．
(1)求ξ的分布列；
(2)求ξ的数学期望．
解析 (1)ξ的全部可能取值为：1,3,4,6，
P(ξ＝1)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝6)＝，所以ξ的分布列为：
ξ
1
3
4
6
P
(2)Eξ＝1×＋3×＋4×＋6×＝(小时)．
拓展练习·自助餐
1．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取到次品的个数，则E(X)等于( )
A. B.
C. D．1
答案 A
解析 离散型随机变量X听从N＝10，M＝3，n＝2的超几何分布，
∴EX＝＝＝.
2．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭．假设在各交通岗遇到红灯的大事是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的期望为( )
A．0.4 B．1.2
C．0.43 D．0.6
答案 B
解析 ∵途中遇红灯的次数X听从二项分布，即X～B(3,0.4)，∴EX＝3×0.4＝1.2.
3．设ξ～B(n，p)，且Eξ＝12，Dξ＝4，则n与p的值分别为( )
A．18， B．12，
C．18， D．12，
答案 C
解析 由，解得n＝18，p＝.
4．在1,2,3，…，9这9个自然数中，任取3个数．
(1)求这3个数中恰有1个是偶数的概率；
(2)记ξ为这3个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时ξ的值是2)．求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ.
解析 (1)记“这3个数中恰有一个是偶数”为大事A，则P(A)＝＝.
(2)随机变量ξ的取值为0,1,2.ξ的分布列是
ξ
0
1
2
P
所以ξ的数学期望
Eξ＝0×＋1×＋2×＝
5．下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．
(1)求直方图中x的值；
(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望．
解析 (1)依题意及频率分布直方图知，0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.
(2)由题意知，X～B(3,0.1)．
因此P(X＝0)＝C×0.93＝0.729，P(X＝1)＝C×0.1×0.92＝0.243，P(X＝2)＝C×0.12×0.9＝0.027，P(X＝3)＝C×0.13＝0.001.
故随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.729
0.243
0.027
0.001
X的数学期望为EX＝3×0.1＝0.3.
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