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第5课时 二元一次不等式(组)与平面区域
1.经受从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程,提高数学建模的力气.
2.了解二元一次不等式的几何意义,会作出二元一次不等式(组)表示的平面区域.
3.能利用二元一次不等式(组)所表示的平面区域解决简洁的实际问题.
重点:怎样依据所给二元一次不等式(组)画出平面区域.
难点:能由不等式(组)画出平面区域和从实际问题中列出不等式(组).
如图,点P1(-1,0)与点P2(0,-1)都在直线上,都满足x+y+1=0,点P3(0,0)与点P4(1,1)都在直线右上方,满足x+y+1>0,点P5(-2,0)与点P6(-1,-1)都在直线左下方,满足x+y+1<0.
问题1:直线l:ax+by+c=0把直角坐标平面分成了三个部分:
(1)直线l上的 点(x,y)的坐标 满足ax+by+c=0.
(2)直线l 一侧 的平面区域内的点(x,y)的坐标都满足ax+by+c>0.
(3)直线l 另一侧 的平面区域内的点(x,y)的坐标都满足ax+by+c<0.
所以,只需在直线l的某一侧的平面区域内,任取一 特殊点(x0,y0) ,从a0x+b0y+c值的正负,即可推断不等式表示的平面区域.通常直线不经过原点就选原点,直线经过原点就选其他点.
问题2:画平面区域的步骤是:① 画线 ——画出不等式所对应的方程所表示的直线(假如原不等式带等号,则画成实线,否则,画成虚线);② 定侧 ——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式,依据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧;③ 求“交” ——假如平面区域是由不等式组打算的,则在确定了各个不等式所表示的区域后,再求这些区域的公共部分,这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域.俗称“直线定界,特殊点定域”.
问题3:二元一次不等式所表示的平面区域与系数之间的关系:
①当B>0时,Ax+By+C>0表示的区域在直线Ax+By+C=0的 上方 .
当B<0时,Ax+By+C>0表示的区域在直线Ax+By+C=0的 下方 .
②当A>0时,Ax+By+C>0表示的区域在直线Ax+By+C=0的 右侧 .
当A<0时,Ax+By+C>0表示的区域在直线Ax+By+C=0的 左侧 .
对于Ax+By+C<0,也有类似的结论.
归结出一句话: B与不等式同号在上方,A与不等式同号在右侧(异号相反) .
问题4:用二元一次不等式组表示实际问题的步骤:
(1)依据问题需求,选取具有 关键作用 的两个量用字母表示;
(2)把问题中的 全部量 都用这两个字母表示出来;
(3)把实际问题中的 限制条件 写成不等式;
(4)把这些不等式 组成的不等式组 用平面区域表示出来.
同直线一样,二次函数y=ax2+bx+c的图象也将平面分成了三个部分,抛物线上的点(x0,y0)满足等式y0-(a+bx0+c)=0,抛物线上方的点(x0,y0)满足不等式y0-(a+bx0+c)>0,抛物线下方的点(x0,y0)满足不等式y0-(a+bx0+c)<0.
1.不等式3x+2y-6≤0表示的平面区域是( ).
【解析】可取(0,0)点验证.
【答案】D
2.不等式组表示的平面区域是( ).
【解析】先画直线x=2和x-y+3=0(虚线),x>2在直线x=2的右侧,
把原点代入x-y+3=3>0,不在区域内,故选D.
【答案】D
3.若点A(3,3),B(2,-1)在直线x+y-a=0的两侧,则a的取值范围是 .
【解析】∵点A,B在直线两侧,∴(3+3-a)(2-1-a)<0,即(a-6)(a-1)<0.
解得1<a<6.
【答案】(1,6)
4.画出不等式组表示的平面区域.
【解析】不等式y<-3x+12表示直线y=-3x+12左下方的区域,x<2y表示直线x=2y左上方的区域,取两区域重叠的部分,如图的阴影部分就表示原不等式组的解集.
二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0表示的平面区域是( ).
【方法指导】依据同号得正、异号得负,原不等式可转化成两个不等式组.
【解析】原不等式等价于或
两不等式组表示的平面区域合并起来即是原不等式表示的平面区域.
【答案】C
【小结】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
用二元一次不等式组表示实际问题
某厂使用两种零件A、B装配两种产品甲、乙,该厂的生产力气是月产甲产品最多2500件,月产乙产品最多1200件,而且装配一件甲产品需要4个A,6个B,装配一件乙产品需要6个A,8个B.2021年1月,该厂能用的A最多有14000个,B最多有12000个,用不等式组将甲、乙两种产量之间的关系表示出来.
【方法指导】本题主要考查二元一次不等式组表示的平面区域及其应用.分别设出两种产品的产量,由题目中的条件列出不等式组.
【解析】设月生产甲产品x件,月生产乙产品y件,
则x、y满足
即
【小结】解决此类题目的关键是列出不等式组,用字母表示变量,找出表示不等关系的关键词,列出不等式即可.本题中表示不等关系的关键词是“A最多有14000个,B最多有12000个”.
求二元一次不等式(组)表示的平面区域的面积
在平面直角坐标系中,画出不等式组所表示的平面区域,并求出平面区域的面积.
【方法指导】画出不等式组表示的平面区域,再求其面积.
【解析】当x≥0时,不等式组变形为如图(1)为其表示的平面区域,其面积为,故当x≤0时,同理其面积为,故总面积为1.
[问题]上述解法正确吗?
[结论]不正确.y=-3|x|+1是关于y轴对称的,但y=x-1并不关于y轴对称,故当x≤0时的面积与x≥0时的面积不相等.
于是,正确解答如下:
如图(2),易知A(0,1),B(-1,-2),C(,-),D(-1,0).
先作出y=-3|x|+1的图象(依此函数为偶函数作),再作出y=x-1的图象,再标出其围成的区域,如图所示,
∴S△ABC=|AD||xC-xB|=×2×(+1)=.
【小结】求不等式组表示的平面区域的面积时,如是多边形要将其分割成几个特殊的图形,再求其面积.
由直线x+y+2=0,x+2y+1=0和2x+y+1=0围成的三角形区域(包括边界),可用不等式组表示为 .
【解析】画出三条直线,并用阴影表示三角形区域,如图所示.取原点(0,0),将x=0,y=0代入x+y+2得2>0,代入x+2y+1得1>0,代入2x+y+1得1>0.
结合图形可知,三角形区域用不等式组可表示为
【答案】
一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4 t,硝酸盐18 t;生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1 t,硝酸盐15 t,现库存磷酸盐10 t、硝酸盐66 t,在此基础上生产两种混合肥料.用不等式组将甲、乙两种肥料的车皮数表示出来,并画出相应的平面区域.
【解析】设x,y分别为方案生产甲,乙两种混合肥料的车皮数,于是满足以下条件:
在直角坐标系中可表示成如图的平面区域(阴影部分).
求不等式组表示的平面区域的面积.
【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.
平面区域为四边形外形,设顶点分别为A、B、C、D,如图.
可知A(0,3)、B(,)、C(3,)、D(3,4),
∴S四边形ABCD=S梯形AOED-S△COE-S△AOB
=(OA+DE)·OE-OE·CE-OA·xB
=(3+4)×3-×3×-×3×=6.
1.不等式x2-y2≥0表示的平面区域是( ).
【解析】不等式x2-y2≥0可写成(x+y)(x-y)≥0,
∴或
【答案】B
2.已知A(-3,-1)和B(4,-6)在直线3x-2y-a=0的同侧,则a的取值范围为( ).
A.(-24,7)
B.(-7,24)
C.(-∞,-7)∪(24,+∞)
D.(-∞,-24)∪(7,+∞)
【解析】∵A、B在同侧,∴(-9+2-a)(12+12-a)>0,∴a<-7或a>24.
【答案】C
3.若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是 .
【解析】如图所示,由区域可知,若为三角形,则5≤a<7.
【答案】[5,7)
4.在平面直角坐标系中,不等式组所表示的平面区域的面积是9,求实数a的值.
【解析】画出平面区域可知图形为三角形,面积为·(2+a)·(2a+4)=9,解得a=1或a=-5(舍去).
∴a=1.
(2008年·山东卷)设二元一次不等式组所表示的平面区域为M,使函数y=ax(a>0,a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是( ).
A.[1,3] B.[2,]
C.[2,9] D.[,9]
【解析】画出不等式组表示的平面区域如右图,
当y=ax的图象过图中的A(3,8)时,得a=2,
当y=ax的图象过图中的B(1,9)时,得a=9,
观看图形可得,当2≤a≤9时,
y=ax的图象经过区域M.
【答案】C
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