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第十二章 第三节
一、选择题
1．下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( )
A．三角形 B．梯形
C．平行四边形 D．矩形
[答案] C
[解析] 由于平行六面体相对的两个面相互平行，类比平面图形，则相对的两条边相互平行，故选C．
2．由>，>，>，…若a>b>0且m>0，则与之间大小关系为( )
A．相等 B．前者大
C．后者大 D．不确定
[答案] B
[解析] 观看题设规律，由归纳推理易得>.
3．观看(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
[答案] D
[解析] 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D，体现了对同学观看力气，概括归纳推理的力气的考查．
4．如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )
[答案] A
[解析] 该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A．
5．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；
③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”．类比推出：若a，b∈C，则a－b>0⇒a>B．其中类比结论正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] ①②正确，③错误．由于两个复数假如不全是实数，不能比较大小．故选C．
6．(文)观看下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4 , |x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8, |x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为( )
A．76 B．80
C．86 D．92
[答案] B
[解析] 本题考查了不完全归纳．由已知条件知|x|＋|y|＝n的不同整数解(x，y)个数为4n，所以|x|＋|y|＝20不同整数解(x，y)的个数为4×20＝80.归纳体现了由特殊到一般的思维过程．
(理)观看下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28 B．76
C．123 D．199
[答案] C
[解析] 本题考查了归纳推理力气，∵1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，…，47＋76＝123，故选C，解答本题时由于分析不出右边数字与前两式的数字关系，从而无从下手，导致无法解题或错选．
二、填空题
7．在平面内有n(n∈N＋，n≥3)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n条直线把平面分成f(n)个平面区域，则f(5)的值是________，f(n)的表达式是________．
[答案] 16 f(n)＝
[解析] 由题意，n条直线将平面分成＋1个平面区域，故f(5)＝16，f(n)＝.
8．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC外接圆半径r＝.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两相互垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R＝________.
[答案]
[解析] 通过类比可得R＝.证明：
作一个在同一个顶点处棱长分别为a，b，c的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是，故这个长方体的外接球的半径是，这也是所求的三棱锥的外接球的半径．
9．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，观看上述结论，可推想一般的结论为________．
[答案] f(2n)≥
[解析] 由前四个式子可得，第n个不等式的左边应当为f(2n)，右边应当为，即可得一般的结论为f(2n)≥.
三、解答题
10．某同学在一次争辩性学习中发觉，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；
②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；
③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)依据(1)的计算结果，将该同学的发觉推广为三角恒等式，并证明你的结论．
[解析] 解法1：(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin15°cos15°
＝1－sin30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)
＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.
解法2：
(1)同解法1.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)
＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)
＝－cos2α＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sinαcosα－sin2α
＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α)
＝1－cos2α－＋cos2α
＝.
一、选择题
1．已知x>0，由不等式x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，…，我们可以得出推广结论：x＋≥n＋1(n∈N＋)，则a＝( )
A．2n B．n2
C．3n D．nn
[答案] D
[解析] 再续写一个不等式：x＋＝＋＋＋≥4＝4，
由此可得a＝nn.
2．如图，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e＝( )
A． B．
C．－1 D．＋1
[答案] A
[解析] 在“黄金双曲线”中，B(0，b)，F(－c,0)，A(a,0)．
∵⊥，∴·＝0.
∴b2＝aC．而b2＝c2－a2，
∴c2－a2＝aC．在等号两边同除以a2得e2－e－1＝0，又e>1，∴解得e＝.
二、填空题
3．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图甲、乙、丙、丁为她们刺绣最简洁的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越秀丽；现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝________.
[答案] 61
[解析] 依据所给图形的规律，f(1)＝1，f(n＋1)－f(n)＝4n，n∈N＋，由累加法可得f(n)＝2n2－2n＋1，
所以f(6)＝61.
4．(2022·莱芜一模)凸函数的性质定理：假如函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有≤f()，已知函数y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为________．
[答案]
[解析] ∵f(x)＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，且A，B，C∈(0，π)，
∴≤f()＝f()．
即sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝，
∴sinA＋sinB＋sinC的最大值为.
三、解答题
5．已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线－＝1(a>0，b>0)，写出具有类似的性质，并加以证明．
[解析] 类似的性质为：若M、N是双曲线－＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．
证明：设点M、P的坐标分别为(m，n)、(x，y)，则N(－m，－n)．
由于点M(m，n)在已知双曲线上，
所以n2＝m2－b2.同理y2＝x2－b2.
则kPM·kPN＝·＝＝·＝(定值)．
6．定义“等和数列”：在一个数列中，假如每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5.
(1)求a18的值；
(2)求该数列的前n项和Sn.
[解析] (1)由等和数列的定义，数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，易知a2n－1＝2，a2n＝3(n＝1,2，…)，故a18＝3.
(2)当n为偶数时，
当n为奇数时，
Sn＝Sn－1＋an＝(n－1)＋2＝n－.
综上所述：Sn＝
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