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第3讲 二项式定理
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．把(1－x)9的开放式按x的升幂排列，系数最大的项是第________项 ( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析 (1－x)9开放式中第r＋1项的系数为C(－1)r，易知当r＝4时，系数最大，即第5项系数最大，选B.
答案 B
2．(2021·辽宁卷)使n(n∈N＋)的开放式中含有常数项的最小的n为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
答案 B
3．(1＋2x)3(1－x)4开放式中x项的系数为 ( )
A．10 B．－10
C．2 D．－2
解析 (1＋2x)3(1－x)4开放式中的x项的系数为两个因式相乘而得到，即第一个因式的常数项和一次项分别乘以其次个因式的一次项与常数项，它为C(2x)0·C(－x)1＋C(2x)1·C14(－x)0，其系数为C·C(－1)＋C·2＝－4＋6＝2.
答案 C
4．(2021·西安模拟)若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m的值为 ( )
A．1或3 B．－3
C．1 D．1或－3
解析 令x＝0，得a0＝(1＋0)6＝1，令x＝1，得(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6，又a1＋a2＋a3＋…＋a6＝63，∴(1＋m)6＝64＝26，∴m＝1或m＝－3.
答案 D
5．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝ ( )
A．－180 B．180
C．45 D．－45
解析 由于(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，所以[2－(1－x)]10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，所以a8＝C22(－1)8＝180.
答案 B
二、填空题
6．(2022·新课标全国Ⅱ卷)(x＋a)10的开放式中，x7的系数为15，则a＝________(用数字作答)．
解析 Tr＋1＝Cx10－rar，令10－r＝7，得r＝3，∴Ca3＝15，即a3＝15，∴a3＝，∴a＝.
答案
7．(2021·皖南八校三联)n的开放式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为________．
解析 由已知条件第五项和第六项二项式系数最大，得n＝9，9开放式的第四项为T4＝C·()6·3＝.
答案
8．若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________.
解析 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36，
令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a12＝1，∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝.
令x＝0，则a0＝1，∴a2＋a4＋…＋a12＝－1＝364.
答案 364
三、解答题
9．已知二项式(＋)n的开放式中各项的系数和为256.
(1)求n；(2)求开放式中的常数项．
解 (1)由题意得C＋C＋C＋…＋C＝256，
∴2n＝256，解得n＝8.
(2)该二项开放式中的第r＋1项为
令＝0，得r＝2，此时，常数项为T3＝C＝28.
10．在(2x－3y)10的开放式中，求：
(1)二项式系数的和；
(2)各项系数的和；
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
(4)奇数项系数和与偶数项系数和；
解 (1)二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210.
(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.
(3)奇数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29，
偶数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29.
(4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①
令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，
得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②
①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，
∴奇数项系数和为；
①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，
∴偶数项系数和为.
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
11．(2022·浙江卷)在(1＋x)6(1＋y)4的开放式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝ ( )
A．45 B．60
C．120 D．210
解析 在(1＋x)6的开放式中，xm的系数为C，在(1＋y)4的开放式中，yn的系数为C，故f(m，n)＝C·C.从而f(3,0)＝C＝20，f(2,1)＝C·C＝60，f(1,2)＝C·C＝36，f(0,3)＝C＝4，所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝120，故选C.
答案 C
12．(2021·新课标全国Ⅰ卷)设m为正整数，(x＋y)2m开放式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1开放式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝
( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析 由题意得：a＝C，b＝C，所以13C＝7C，∴＝，∴＝13，解得m＝6，经检验为原方程的解，选B.
答案 B
13．若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝________.
解析 原等式两边求导得5(2x－3)4·(2x－3)′＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4，令上式中x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝10.
答案 10
14．求证：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N＋)能被31整除．
证明 ∵1＋2＋22＋…＋25n－1＝
＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1
＝C×31n＋C×31n－1＋…＋C×31＋C－1
＝31(C×31n－1＋C×31n－2＋…＋C)，
明显C×31n－1＋C×31n－2＋…＋C为整数，
∴原式能被31整除.
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