2022届高考数学(文科人教A版)大一轮阶段滚动检测(一)第一、二章-.docx

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阶段滚动检测(一)
第一、二章
(120分钟　150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设全集U=R,集合A={x|x2-1<0},B={x|x(x-2)>0},则A∩()=(　　)
A.{x|0<x<2} B.{x|0<x<1}
C.{x|0≤x<1} D.{x|-1<x<0}
2.(2021·双鸭山模拟)已知命题p:∃x0∈R,x0-2>lgx0,命题q:∀x∈R,x2>0,则
(　　)
A.命题p∨q是假命题
B.命题p∧q是真命题
C.命题p∧(q)是真命题
D.命题p∨(q)是假命题
3.(2021·洛阳模拟)下列函数中,既是偶函数又在(-∞,0)上单调递增的是
(　　)
A.y=x2 B.y=2|x|
C.y=log21|x| D.y=sinx
4.(2021·唐山模拟)f(x)是R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x3+ln(1+x),则当x<0时,f(x)=(　　)
A.-x3-ln(1-x) B.x3+ln(1-x)
C.x3-ln(1-x) D.-x3+ln(1-x)
5.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为(　　)
A.45.606万元 B.45.6万元
C.45.56万元 D.45.51万元
6.函数f(x)=x3+3x2+3x-a的极值点的个数是　(　　)
A.2　　　　 B.1　　　　 C.0　　　　 D.由a确定
7.(2021·偃师模拟)若函数f(x)=cosx+2xf′(π6),则f(-π3)与f(π3)的大小关系是(　　)
A.f(-π3)=f(π3） B.f(-π3)>f(π3)
C.f(-π3)<f(π3) D.不确定
8. (2021·天津模拟)已知函数f(x)=x2-cosx,则f(0.6),f(0),f(-0.5)的大小关系是(　　)
A.f(0)<f(0.6)<f(-0.5)
B.f(0)<f(-0.5)<f(0.6)
C.f(0.6)<f(-0.5)<f(0)
D.f(-0.5)<f(0)<f(0.6)
9.世界人口在过去40年内翻了一番,则每年人口平均增长率是(参考数据lg2≈0.3010,100.0075≈1.017)(　　)
A.1.5% B.1.6% C.1.7% D.1.8%
10.(2021·长春模拟)若函数f(x)对任意的x∈R都有f(x+3)=-f(x+1),且f(1)=2021,则f(f(2021)+2)+1=(　　)
A.-2021 B.-2022 C.2022 D.2021
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)
11.命题“若x>1,y>1,则xy>1”的否命题是　　　　.
12.(2021·上海模拟)设α:1≤x≤3,β:m+1≤x≤2m+4,m∈R,若α是β的充分条件,则m的取值范围是　　　　.
13.若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈0,12恒成立,则a的最小值是　　　　　.
14.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,给出下列关于f(x)的结论:①f(x)是周期函数;②f(x)的图象关于直线x=1对称;
③f(x)在[0,1]上是增函数;④f(x)在[1,2]上是减函数;⑤f(2)=f(0).其中正确结论的序号是　　　　.
15.(2021·邯郸模拟)已知f(x)=23x+1+sinx,则f(-5)+f(-4)+f(-3)+f(-2)+
f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=　　　.
三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(12分)已知函数f(x) =a·2x+b·3x,其中常数a,b满足ab≠0.
(1)若ab>0,推断函数f(x)的单调性.
(2)若ab<0,求f(x+1)>f(x)时x的取值范围.
17.(12分)已知全集U=R,集合A={x|(x-2)(x-3)<0},B={x|(x-a)(x-a2-2)<0}.
(1)当a=12时,求()∩A.
(2)命题p:x∈A,命题q:x∈B,若q是p的必要条件,求实数a的取值范围.
18.(12分)已知命题p:在x∈[1,2]时,不等式x2+ax-2>0恒成立;命题q:函数f(x)=log13(x2-2ax+3a)是区间[1,+∞)上的减函数.若命题“p∨q”是真命题,求实数a的取值范围.
19.(12分)设函数g(x)=3x,h(x)=9x.
(1)解方程:h(x)-8g(x)-h(1)=0.
(2)令p(x)=g(x)g(x)+3,求证:p(12 014)+p(22 014)+…+p(2 0122 014)+p(2 0132 014)=2 0132.
(3)若f(x)=g(x+1)+ag(x)+b是实数集R上的奇函数,且f(h(x)-1)+f(2-k·g(x))>0对任意实数x恒成立,求实数k的取值范围.
20.(13分)已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
(2)当a>0时,若f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2,求a的取值范围.
(3)若对任意x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,且f(x1)+2x1<f(x2)+2x2恒成立,求a的取值
范围.
21.(14分)(2022·浙江高考)已知函数f(x)=x3+3|x-a|(a>0),若f(x)在[-1,1]上的最小值记为g(a).
(1)求g(a).
(2)证明:当x∈[-1,1]时,恒有f(x)≤g(a)+4.
答案解析
1.C A={x|-1<x<1},B={x|x<0,或x>2},所以B={x|0≤x≤2},A∩B={x|0≤x<1}.
2.C 当x=10时,10-2=8>lg10=1,故命题p:∃x0∈R,x0-2>lgx0是真命题;当x=0时,x2=0,故命题q:∀x∈R,x2>0是假命题,所以命题p∨q是真命题,命题p∧q是假命题,命题p∨(﹁q)是真命题,命题p∧(﹁q)是真命题,故选C.
3.C 函数y=x2与y=2|x|都是偶函数,但在(-∞,0)上是减函数,函数y=sinx是奇函数,函数y=log21|x|=-log2|x|是偶函数且在(-∞,0)上是增函数,故选C.
【加固训练】下列函数中为偶函数的是　(　　)
A.y=x B.y=-x
C.y=x2 D.y=x3+1
C 对于A,定义域为[0,+∞),不满足f(x)=f(-x),不是偶函数,
对于B,定义域为R,不满足f(x)=f(-x),不是偶函数,
对于C,定义域为R,满足f(x)=f(-x),是偶函数,
对于D,不满足f(x)=f(-x),不是偶函数,故选C.
4.C 当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)3+ln(1-x),又f(-x)=-f(x),则有-f(x)=-x3+ln(1-x),即f(x)=x3-ln(1-x).
【误区警示】本题易误选A,错误的缘由是依据f(x)=-f(-x)求解时,忽视了f(-x)解析式中的符号.
【加固训练】(2022·南充模拟)函数y=f(x)是以2为周期的偶函数,且当x∈(0,1)时,f(x)=x+1,则在x∈(1,2)时f(x)=　(　　)
A.-x-3 B.3-x
C.1-x D.-1-x
B 设x∈(1,2),则-x∈(-2,-1),
2-x∈(0,1),
所以f(2-x)=2-x+1=3-x,
函数y=f(x)是以2为周期的偶函数,
所以f(x+2)=f(x),f(-x)=f(x),
则f(2-x)=f(-x)=f(x)=3-x,故选B.
5.B　设该公司在甲地销售x辆,则在乙地销售(15-x)辆,利润为L(x)=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30=-0.15(x-)2+0.15×1532225+30,由于x为整数,所以当x=10时,L(x)取最大值L(10)=45.6,即能获得的最大利润为45.6万元.
6.C　函数的导数为f′(x)=3x2+6x+3=3(x2+2x+1)=3(x+1)2≥0,所以函数f(x)在定义域上单调递增,所以没有极值点,选C.
7.C f'(x)=-sinx+2f'(π6),
则f'(π6)=-sinπ6+2f'(π6),所以f'(π6)=sinπ6=12,从而f'(x)=1-sinx≥0,函数f(x)在R上是增函数,则f(-π3)<f(π3).
8.B　由于函数f(x)=x2-cosx为偶函数,所以f(-0.5)=f(0.5),f'(x)=2x+sinx,当0<x<π2时,f'(x)=2x+sinx>0,所以函数在0<x<π2上递增,所以有f(0)<f(0.5)<f(0.6),
即f(0)<f(-0.5)<f(0.6),故选B.
【加固训练】(2022·信阳模拟)定义在R上的函数f(x)满足(x+2)f'(x)<0(x≠-2)(其中f'(x)是函数f(x)的导数),又a=f(log123),b=f(),c=f(ln3),
则(　　)
A.a<b<c B.b<c<a
C.c<a<b D.c<b<a
D 由于-2<log123<0<<1<ln3,而(x+2)f'(x)<0,若x+2>0,
则f'(x)<0,
所以函数f(x)在(-2,+∞)上是单调减函数,
所以f(ln3)<f()
<f(log123),
所以c<b<a.故选D.
9.C 设每年人口平均增长率为x,则(1+x)40=2,两边取以10为底数的对数,得40lg(1+x)=lg2,所以lg(1+x)=lg240≈0.0075,从而1+x≈100.0075≈1.017,得x≈1.7%.
10.【解题提示】由f(x+3)=-f(x+1)得f(x+2)=-f(x),从而f(x+4)=-f(x+2)=f (x),因此函数f(x)是周期为4的函数.
B 由f(x+3)=-f(x+1)可知函数f(x)为周期函数,且周期T=4,当x=0时,f(3)=-f(1)=-2021,f(2021)=f(503×4+1)=f(1)=2021,因此f(f(2021)+2)+1=f(2021)+1=f(3)+1=-2022.故选B.
【加固训练】定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数y=f(x)在x∈[0,10]内的零点至少有(　　)
A.3个　　B.4个　　C.5个　　D.6个
D 由于f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x)　①,又f(x+1)=f(1-x),所以f(-x)=f(2+x)　②,由①②可得f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),得f(x)是周期为4的函数,故f(0)=f(4)=f(8)=0,f(2)=f(6)=f(10)=0,所以y=f(x)在x∈[0,10]内的零点至少有6个.
11.【解析】由于x>1,y>1的否定是x≤1或y≤1,
所以原命题的否命题是“若x≤1或y≤1,则xy≤1”.
答案：若x≤1或y≤1,则xy≤1
12.【解析】由α是β的充分条件知{x|1≤x≤3}⊆{x|m+1≤x≤2m+4,m∈R},则有解得-12≤m≤0.
答案：[-12,0]
13.【解析】由x2+ax+1≥0得
a≥-x+1x在x∈0,12上恒成立,
令g(x)=-x+1x,则知g(x)在0,12为增函数,
所以g(x)max=g12=-52,
所以a≥-52.
答案:-52
14.【解析】对于①,f(x+2)=-f(x+1)=-[-f(x)]=f(x),故2是函数f(x)的一个周期,①正确;对于②,由于函数f(x)是偶函数,且函数f(x)是以2为周期的函数,则f(2-x)=f(x-2)=f(x),即f(2-x)=f(x),故函数f(x)的图象关于直线x=1对称,故②正确;对于③,由于函数f(x)是偶函数且在[-1,0]上是增函数,依据偶函数图象的性质可知,函数f(x)在[0,1]上是减函数,故③错误;对于④,由于函数f(x)是以2为周期的函数且在[-1,0]上为增函数,故④错误;对于⑤,由于函数f(x)是以2为周期的函数,所以f(2)=f(0),⑤正确.综上所述,正确结论的序号是①②⑤.
答案：①②⑤
15.【解题提示】先求f(x)+f(-x)的值,再求和式的值.
【解析】由于f(x)+f(-x)=23x+1+sinx+23-x+1+sin(-x)
=23x+1+2·3x3x+1=2(3x+1)3x+1=2.
所以f(-5)+f(5)=f(-4)+f(4)
=…=f(-1)+f(1)=2,
又f(0)=1+0=1,
所以原式=2×5+1=11.
答案：11
16.【解析】(1)当a>0,b>0时,由于y=a·2x,y=b·3x都单调递增,
所以函数f(x)单调递增;
当a<0,b<0时,由于y=a·2x,y=b·3x都单调递减,所以函数f(x)单调递减.
(2)已知f(x+1)-f(x)=a·2x+2b·3x>0.
当a<0,b>0时, >-a2b,
解得x>log32(-a2b);
当a>0,b<0时,<-a2b,
解得x<log32(-a2b).
17.【解析】(1)A={x|2<x<3},
当a=12时,B={x|12<x<94}.
B={x|x≤12或x≥94},
(B)∩A={x|94≤x<3}.
(2)由若q是p的必要条件知p⇒q,可知A⊆B.
由a2+2>a知B={x|a<x<a2+2}.
所以
解得a≤-1或1≤a≤2.
即a∈(-∞,-1]∪[1,2].
18.【解析】若命题p为真命题,则由x2+ax-2>0得a>2x-x在x∈[1,2]上恒成立,设f(x)=2x-x,f(x)在[1,2]上是减函数,则-1≤f(x)≤1,所以a≥1,
若命题q为真命题,则有解得-1<a≤1,
当命题p与q同时为假命题时有
解得a≤-1.
则命题p与q至少有一个命题是真命题,即命题“p∨q”是真命题时有a>-1.
19.【解析】(1)h(x)-8g(x)-h(1)=0,即9x-8·3x-9=0,解得3x=9,则x=2.
(2)由于p(1 0072 014)=p(12)=323=12,
又由于p(x)+p(1-x)=3x3x+3+31-x31-x+3=3x3x+3+33x+3=1,
所以p(12 014)+p(22 014)+…+
p(2 0122 014)+p(2 0132 014)
=1006+12=2 0132.
(3)由于f(x)=g(x+1)+ag(x)+b=3x+1+a3x+b是实数集R上的奇函数,
所以
即
解得a=-3,b=1.
从而f(x)=3(1-23x+1),易证f(x)在实数集R上单调递增.
由f(h(x)-1)+f(2-k·g(x))>0得f(h(x)-1)>-f(2-k·g(x)),又由于f(x)是实数集R上的奇函数,所以f(h(x)-1)>f(k·g(x)-2),
又由于f(x)在实数集R上单调递增,
所以h(x)-1>k·g(x)-2,
即32x-1>k·3x-2对任意的x∈R都成立,
即k<3x+13x对任意的x∈R都成立,则k<2.
20.【解析】(1)当a=1时,f(x)=x2-3x+lnx,f'(x)=2x-3+1x.
由于f'(1)=0,f(1)=-2.
所以切线方程是y=-2.
(2)函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx的定义域是(0,+∞).
f'(x)=2ax-(a+2)+1x
=2ax2-(a+2)x+1x(x>0),
令f'(x)=0,
即f'(x)=2ax2-(a+2)x+1x
=(2x-1)(ax-1)x=0,
所以x=12或x=1a.
当0<1a≤1,即a≥1时,f(x)在[1,e]上单调递增,
所以f(x)在[1,e]上的最小值是f(1)=-2;
当1<1a<e,即1e<a<1时,f(x)在[1,e]上的最小值是f(1a)<f(1)=-2,不合题意;
当1a≥e,即0<a≤1e时,f(x)在(1,e)上单调递减,
所以f(x)在[1,e]上的最小值是f(e)<f(1)=-2,不合题意.
综上知a≥1.
(3)设g(x)=f(x)+2x,则g(x)=ax2-ax+lnx,
只要g(x)在(0,+∞)上单调递增即可.
而g'(x)=2ax-a+1x
=2ax2-ax+1x,
当a=0时,g'(x)=1x>0,此时g(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a≠0时,只需g'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,由于x∈(0,+∞),只要2ax2-ax+1≥0,则需要a>0,
对于函数y=2ax2-ax+1,过定点(0,1),对称轴x=14>0,只需Δ=a2-8a≤0,即0<a≤8.综上0≤a≤8.
【加固训练】(2022·许昌模拟)已知函数f(x)=x3+32(a-1)x2-3ax+1,x∈R.
(1)争辩函数f(x)的单调区间.
(2)当a=3时,若函数f(x)在区间[m,2]上的最大值为28,求m的取值范围.
【解析】(1)由f(x)=x3+32(a-1)x2-3ax+1,得:f'(x)=3x2+3(a-1)x-3a=3(x-1)(x+a).
令f'(x)=0,得x1=1,x2=-a.
①当-a=1,即a=-1时,f' (x)=3(x-1)2≥0,
f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
②当-a<1,即a>-1时,
当x<-a或x>1时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,-a),(1,+∞)内单调递增.
当-a<x<1时,f'(x)<0,f(x)在(-a,1)内单调递减;
③当-a>1,即a<-1时,
当x<1或x>-a时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,1),(-a,+∞)内单调递增.
当1<x<-a时,f'(x)<0,f(x)在(1,-a)内单调递减.
综上,当a<-1时,f(x)在(-∞,1),(-a,+∞)内单调递增,
f(x)在(1,-a)内单调递减;
当a=-1时,f(x)在(-∞,+∞)单调递增;
当a>-1时,f(x)在(-∞,-a),(1,+∞)内单调递增,f(x)在(-a,1)内单调递减.
(2)当a=3时,f(x)=x3+3x2-9x+1,x∈[m,2],f'(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-1),
令f'(x)=0,得x1=1,x2=-3.
将x,f'(x),f(x)变化状况列表如下:
x
(-∞,-3)
-3
(-3,1)
1
(1,2]
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
微小值
单调递增
由此表可得,f(x)极大值=f(-3)=28,f(x)微小值=f(1)=-4.
又f(2)=3<28,
故区间[m,2]内必需含有-3,即m的取值范围是(-∞,-3].
21.【解析】(1)由于a>0,-1≤x≤1,所以
①当0<a<1时,
若x∈[-1,a],则f(x)=x3-3x+3a,f'(x)=3x2-3<0,
故f(x)在(-1,a)上是减函数;
若x∈[a,1],则f(x)=x3+3x-3a,
f'(x)=3x2+3>0,
故f(x)在(a,1)上是增函数;
所以g(a)=f(a)=a3.
②当a≥1时,有x≤a,则f(x)=x3-3x+3a,f'(x)=3x2-3<0,
故f(x）在[-1,1]上是减函数,
所以g(a)=f（1）=-2+3a.
综上所述,g(a)=
(2)令h(x)=f(x)-g(a).
①当0<a<1时,g(a)=a3,
若x∈[a,1],h(x)=x3+3x-3a-a3,得h'(x)=3x2+3,
则h(x)在[a,1]上是增函数,
所以h(x)在[a,1]上的最大值是h(1)=4-3a-a3且0<a<1,
所以h(x)<4,故f(x)<g(a)+4.
若x∈[-1,a],h(x)=x3-3x+3a-a3,得h'(x)=3x2-3,则h(x)在[-1,a]上是减函数,所以h(x)在[-1,a]上的最大值是h(-1)=2+3a-a3,
令t(a)=2+3a-a3,则t'(a)=3-3a2>0,
所以t(a)在(0,1)上是增函数,
所以t(a)<t(1)=4,即h(-1)<4,
故f(x)<g(a)+4.
②当a≥1时,g(a)=-2+3a,
故h(x)=x3-3x+2,得h'(x)=3x2-3,
此时h(x)在[-1,1]上是减函数,因此h(x)在[-1,1]上的最大值是h(-1)=4.
故f(x)≤g(a)+4,
综上,当x∈[-1,1]时,恒有f(x)≤g(a)+4.

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