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双基限时练(十一)
1．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值为( )
A．5 B．8
C．5或3 D．8或5
解析 当焦点在x轴上时，m＝4＋1＝5；当焦点在y轴上时，4＝m＋1，∴m＝3，综上知，m＝5或3.
答案 C
2．椭圆＋＝1与＋＝1(0＜k＜9)的关系为( )
A．有相等的长轴 B．有相等的短轴
C．有相同的焦点 D．有相等的焦距
解析 当0<k<9时，(25－k)－(9－k)＝25－9＝16＝c2，∴c＝4，而焦点一个在x轴上，一个在y轴上，∴两椭圆的焦点不同，因此，有相同的焦距，故选D.
答案 D
3．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于( )
A. B.
C. D.
解析 依题意2a＝4b，即a＝2b，又a2＝b2＋c2，
∴a2＝a2＋c2，即a2＝c2，∴＝，
∴e＝＝.
答案 D
4．若椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为( )
A. B.或18
C．18 D.或6
解析 当焦点在x轴上时，a2＝16，b2＝m，∴c2＝a2－b2＝16－m，∴e2＝＝＝2，∴m＝，当焦点在y轴上时，同理可求得m＝18.
综上知m的值为或18.
答案 B
5．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的线段的中点坐标为( )
A. B.
C. D.
解析 由消去y，得
3x2＋4x－2＝0.
设直线与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，
∴y1＋y2＝x1＋x2＋2＝.
∴AB中点的坐标为.
答案 C
6．已知F1，F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的周长是8，则椭圆的渐近线方程为________________________．
解析 由题意得4＝8，∴k＝2.∴椭圆方程为＋＝1，其渐近线方程为y＝±x.
答案 y＝±x
7．人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为r1、r2，则卫星运行轨道的离心率是__________．
解析 由题意得
∴2a＝2R＋r1＋r2,2c＝r2－r1.
∴e＝＝.
答案
8．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2c.以点O为圆心，a为半径作圆M，若过点P(，0)所作圆M的两条切线相互垂直．则该椭圆的离心率为________．
解析 如图，切线PA，PB相互垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP为等腰直角三角形．∴＝a，∴e＝＝.
答案
9．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)(c＞0)，离心率e＝，焦点到椭圆上点的最短距离为2－，求椭圆的方程．
解 ∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，
∴a－c＝2－.
又e＝＝，
∴a＝2，c＝.
∴b2＝1.
∴椭圆的方程为＋x2＝1.
10．直线l过点M(1,1)，与椭圆＋＝1相交于A，B两点，若AB的中点为M，求直线l的方程．
解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝1，①
＋＝1，②
①－②得
＋＝0，
∴＝－·.
又M(1,1)为AB的中点，
∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.
∴直线l的斜率为－.
∴直线l的方程为y－1＝－(x－1)，
即3x＋4y－7＝0.
11．椭圆过点(3,0)点，离心率e＝，求椭圆的标准方程．
解 当椭圆焦点在x轴上时，则
a＝3，＝，∴c＝.
∴b2＝a2－c2＝3.
故椭圆的方程为＋＝1.
当椭圆的焦点在y轴上时，
则b＝3，又＝，
∴＝，∴a2＝27，
故椭圆的方程为＋＝1.
∴所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
12．在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)，(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)设直线y＝kx＋1与C交于A，B两点，k为何值时⊥？此时|AB|的值是多少．
解 (1)设P(x，y)，由椭圆的定义知，点P的轨迹C是以(－，0)，(，0)为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴长b＝＝1.故曲线C的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足
消去y，并整理，得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0.
由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝－.
若⊥，则x1x2＋y1y2＝0.
∵y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，
∴x1x2＋y1y2＝－－－＋1＝－＝0，
∴k＝±.
当k＝±时，x1＋x2＝∓，x1x2＝－.
∴|AB|＝＝.
而(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝＋4×＝，∴|AB|＝＝.
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