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第一章 第三节
一、选择题
1．(文)(2022·甘肃省三诊)设a，b∈R，则(a－b)·a2<0是a<b的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 由(a－b)·a2<0⇒a－b<0⇒a<b，而a<b⇒(a－b)<0 (a－b)·a2<0，故选A.
(理)(2021·皖南八校联考)设a，b∈R，则“>1”是“|a|>|b|”成立的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 由>1得||>1，∴|a|>|b|；反之当|a|>|b|时，不愿定有>1，例如a＝－3，b＝1，满足|a|>|b|，但<0.
2．(2022·山东潍坊模拟)已知命题p、q，“¬p为真”是“p∧q为假”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 由p为假命题可得p∧q为假命题，反之，p∧q为假命题，p未必为假命题，所以是充分不必要条件．
3．(文)(2021·北京海淀期中)“t≥0”是“函数f(x)＝x2＋tx－t在(－∞，＋∞)内存在零点”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 函数f(x)＝x2＋tx－t在(－∞，＋∞)内存在零点，等价于t2＋4t≥0，即t≤－4或t≥0，故选A.
(理)(2021·云南昆明一中检测)已知条件p：函数g(x)＝logm(x－1)为减函数，条件q：关于x的二次方程x2－2x＋m＝0有解，则p是q的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 函数g(x)＝logm(x－1)为减函数，则有0<m<1，即p：0<m<1.关于x的二次方程x2－2x＋m＝0有解，则判别式Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，即q：m≤1.所以p是q的充分而不必要条件，选A.
4．(文)已知α，β表示两个不同的平面，m是一条直线且m⊂α，则“α⊥β”是“m⊥β”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] ⇒α⊥β；但α⊥β时，设α∩β＝l，当m∥l时，m与β不垂直，故选B.
(理)已知不重合的直线a，b和不重合的平面α，β，a⊥α，b⊥β，则“a⊥b”是“α⊥β”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] ∵∴a∥β或a⊂β，∵a⊥α，∴α⊥β；反之，由α⊥β也可以推出a⊥b，故选C.
5．(文)(2021·山东泰安期中)设数列{an}是等比数列，则“a1<a2<a3”是“{an}为递增数列”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 设{an}的公比为q，
∵a1<a2<a3，∴a1<a1q<a1q2，
∴∴q>0，
若a1>0，则q>1，{an}为递增数列，
若a1<0，则0<q<1，{an}为递增数列，
反之，若{an}为递增数列，则明显有a1<a2<a3成立，故选C.
(理)(2022·豫东豫北十所名校段考)已知数列{an}为等比数列，则p：a1<a2<a3是q：a4<a5的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 设公比为q，∵a1<a2，∴a1(1－q)<0，
又∵a2<a3，∴a1q<a2q2，即a1q(1－q)<0，∴q>0，∴a4－a5＝a1q3－a1q4＝a1q3(1－q)，∵q>0，a1(1－q)<0，
∴a1q3(1－q)<0，∴a4<a5.反之，若等比数列{an}为1，－1，1，－1，1，－1，…，则a4<a5，而a1>a2，故选A.
6．(文)已知数列{an}，“对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝3x＋2上”是“{an}为等差数列”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 点Pn(n，an)在直线y＝3x＋2上，即有an＝3n＋2，则能推出{an}是等差数列；但反过来，{an}是等差数列，an＝3n＋2未必成立，所以是充分不必要条件，故选A.
(理)(2021·北京海淀期末)数列{an}满足a1＝1，an＋1＝r·an＋r(n∈N*，r∈R且r≠0)，则“r＝1”是“数列{an}成等差数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 若r＝1，则an＋1－an＝1(n∈N*)，数列{an}成等差数列，充分性成立；
反之，当{an}是常数列时，∵a1＝1，∴a2＝r＋r＝1，此时r＝，所以必要性不成立，故选A.
二、填空题
7．(文)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8相互垂直的充要条件是m＝________.
[答案] －
[解析] x＋(m＋1)y＝2－m与mx＋2y＝－8垂直⇔
1·m＋(m＋1)·2＝0，
得m＝－.
(理)(2021·绍兴模拟)“－3<a<1”是“方程＋＝1表示椭圆”的________条件．
[答案] 必要不充分
[解析] 方程表示椭圆时，
应有
解得－3<a<1且a≠－1，
故“－3<a<1”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．
8．给出下列命题：
①“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件．
②对于数列{an}，“an＋1>|an|，n＝1,2，…”是{an}为递增数列的充分不必要条件．
③已知a，b为平面上两个不共线的向量，p：|a＋2b|＝|a－2b|；q：a⊥b，则p是q的必要不充分条件．
④“m>n”是“()m<()n”的充分不必要条件．
其中真命题的序号是________．
[答案] ①②
[解析] ①∵m>n>0，∴0<<，方程mx2＋ny2＝1化为＋＝1，故表示焦点在y轴上的椭圆，反之亦成立．∴①是真命题；
②对任意自然数n，an＋1>|an|≥0，∴an＋1>an，∴{an}为递增数列；当取an＝n－4时，则{an}为递增数列，但an＋1>|an|不愿定成立，如a2>|a1|就不成立．∴②是真命题；
③由于|a＋2b|＝|a－2b|⇔(a＋2b)2＝(a－2b)2⇔a·b＝0⇔a⊥b，因此p是q的充要条件，∴③是假命题；
④∵y＝x是减函数，∴当m>n时，m<n，反之，当()m<n时，有m>n，因此m>n⇔m<n，故④是假命题．
9．(2021·石家庄质检)下列四个命题：
①“∃x∈R，x2－x＋1≤0”的否定；
②“若x2＋x－6≥0，则x>2”的否命题；
③在△ABC中，“A>30°”是“sinA>”的充分不必要条件；
④“函数f(x)＝tan(x＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝kπ(k∈Z)”．其中真命题的序号是________(把真命题的序号都填上)．
[答案] ①②
[解析] “∃x∈R，x2－x＋1≤0”的否定为“∀x∈R，x2－x＋1>0”，①是真命题；“若x2＋x－6≥0，则x>2”的否命题是“若x2＋x－6<0，则x≤2”，②也是真命题；在△ABC中，“A>30°”是“sinA>”的必要不充分条件，③是假命题；“函数f(x)＝tan(x＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝(k∈Z)”，④是假命题．
三、解答题
10．已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若¬p是¬q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．
[解析] 由题意p：－2≤x－3≤2，∴1≤x≤5.
∴¬p：x<1或x>5.q：m－1≤x≤m＋1，
∴¬q：x<m－1或x>m＋1.
又∵¬p是¬q的充分不必要条件，
∴且等号不同时取得．∴2≤m≤4.
一、选择题
11．(文)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] k＝1时，圆心O(0,0)到直线的距离d＝<1，∴直线与圆相交；直线与圆相交时，圆心到直线的距离d＝<1，∴－<k<，故选A.
(理)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的充分不必要条件是( )
A．－3<m<1 B．－4<m<2
C．0<m<1 D．m<1
[答案] C
[解析] 联立方程得，得x2＋(x＋m)2－2x－1＝0，即2x2＋(2m－2)x＋m2－1＝0，直线与圆有两个不同交点的充要条件为Δ＝(2m－2)2－4×2·(m2－1)>0，解得－3<m<1，只有C选项符合要求．
[点评] 直线与圆有两个不同交点⇔－3<m<1，故其充分不必要条件应是(－3,1)的真子集．
12．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( )
A．既不充分也不必要的条件
B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件
D．充要条件
[答案] D
[解析] ∵f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0,1]上为增函数，∴f(x)在[－1,0]上为减函数，∴当3≤x≤4时，－1≤x－4≤0，
∴当x∈[3,4]时，f(x)是减函数，反之也成立，故选D.
13．(2022·辽宁省协作校联考)以下推断正确的是( )
A．函数y＝f(x)为R上可导函数，则f ′(x0)＝0是x0为函数f(x)的极值点的充要条件
B．命题“存在x∈R，x2＋x－1<0”的否定是“任意x∈R，x2＋x－1>0”
C．命题“在△ABC中，若A>B，则sinA>sinB”的逆命题为假命题
D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件
[答案] D
[解析] 若x0是f(x)的极值点，则f ′(x0)＝0，但f ′(x0)＝0时，x0不愿定为f(x)的极值点，∴A错；“<”的否定应为“≥”，∴B错；在△ABC中，A>B⇔sinA>sinB，∴该命题的逆命题为真命题，∴C错；函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔ax2－bx＋c＝ax2＋bx＋c⇔2bx＝0恒成立⇔b＝0.
14．(2021·濉溪县月考)已知条件p：≤－1，条件q：x2＋x<a2－a，且¬q的一个充分不必要条件是¬p，则a的取值范围是( )
A．[－2，－] B．[－1,2]
C．[，2] D．(－2，]∪[2，＋∞)
[答案] B
[解析] 由≤－1得，≤0，∴－3≤x<1；∵¬q的充分不必要条件是¬p，∴q是p的充分不必要条件．
由x2＋x<a2－a得(x＋a)(x－a＋1)<0，令f(x)＝x2＋x－a2＋a，
由条件知∴∴－1≤a≤2.
15．(2021·黄风中学月考)下列四种说法中，
①命题“存在x∈R，x2－x>0”的否定是“对于任意x∈R，x2－x<0”；
②命题“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；
③已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2，)，则f(4)的值等于；
④已知向量a＝(3，－4)，b＝(2,1)，则向量a在向量b方向上的投影是.
说法正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] A
[解析] ①命题“存在x∈R，x2－x>0”的否定是“对于任意x∈R，x2－x≤0”，故①不正确；
②命题“p且q为真”，则命题p、q均为真，所以“p或q为真”．反之“p或q为真”，则p、q不见得都真，所以不愿定有“p且q为真”所以命题“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故命题②不正确；
③由幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2，)，所以2α＝，所以α＝－，所以幂函数为f(x)＝x－，所以f(4)＝4－＝，所以命题③正确；
④向量a在向量b方向上的投影是|a|cosθ＝＝＝，θ是a和b的夹角，故④错误．
二、填空题
16．设p：q：x2＋y2>r2(x，y∈R，r>0)，若p是q的充分不必要条件，则r的取值范围是________．
[答案] (0，)
[解析] 设A＝(x，y)，B＝{(x，y)|x2＋y2>r2，x，y∈R，r>0}，
则集合A表示的区域为图中阴影部分，集合B表示以原点为圆心，以r为半径的圆的外部，设原点到直线4x＋3y－12＝0的距离为d，则
d＝＝，
∵p是q的充分不必要条件，∴AB，则0<r<.
三、解答题
17．(2022·黑龙江大庆试验中学期中)设命题p：函数f(x)＝lg(ax2－x＋)的定义域为R；命题q：3x－9x<a对一切实数x恒成立，假如命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．
[解析] 命题p：对于任意的x∈R，ax2－x＋>0恒成立，则需满足⇒a>2，
q：g(x)＝3x－9x＝－(3x－)2＋≤恒成立⇒a>.
由于“p且q”为假命题，所以p，q至少一假．
(1)若p真q假，则a>2且a≤，a不存在；
(2)若p假q真，则a≤2且a>，∴<a≤2；
(3)若p假q假，则a≤2且a≤，∴a≤.
综上知，a≤2.
18．设命题p：实数x满足x2－7ax＋10a2<0，其中a≠0，
命题q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
[解析] (1)a＝1时，p：x2－7x＋10<0，
即p：2<x<5，
q：即q：1<x≤3，
由p∧q为真知，2<x≤3.
(2)由x2－7ax＋10a2<0，得(x－2a)(x－5a)<0，
若a<0，则5a<x<2a，不合题意；
若a>0，则2a<x<5a，
由题意知，(1,3](2a,5a)，∴
∴这样的实数a不存在．
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