1、 第一章 第三节 一、选择题 1.(文)(2022·甘肃省三诊)设a,b∈R,则(a-b)·a2<0是a1”是“|a|>|b|”成立的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] 由>1得||>1,∴|a|>|b|;反之当|
2、a|>|b|时,不愿定有>1,例如a=-3,b=1,满足|a|>|b|,但<0. 2.(2022·山东潍坊模拟)已知命题p、q,“¬p为真”是“p∧q为假”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] 由p为假命题可得p∧q为假命题,反之,p∧q为假命题,p未必为假命题,所以是充分不必要条件. 3.(文)(2021·北京海淀期中)“t≥0”是“函数f(x)=x2+tx-t在(-∞,+∞)内存在零点”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案]
3、A
[解析] 函数f(x)=x2+tx-t在(-∞,+∞)内存在零点,等价于t2+4t≥0,即t≤-4或t≥0,故选A.
(理)(2021·云南昆明一中检测)已知条件p:函数g(x)=logm(x-1)为减函数,条件q:关于x的二次方程x2-2x+m=0有解,则p是q的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 函数g(x)=logm(x-1)为减函数,则有0 4、A.
4.(文)已知α,β表示两个不同的平面,m是一条直线且m⊂α,则“α⊥β”是“m⊥β”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] ⇒α⊥β;但α⊥β时,设α∩β=l,当m∥l时,m与β不垂直,故选B.
(理)已知不重合的直线a,b和不重合的平面α,β,a⊥α,b⊥β,则“a⊥b”是“α⊥β”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] ∵∴a∥β或a⊂β,∵a⊥α,∴α⊥β;反之,由α⊥β也可以推出a⊥b,故选C.
5.( 5、文)(2021·山东泰安期中)设数列{an}是等比数列,则“a1 6、 )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 设公比为q,∵a1 7、A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 点Pn(n,an)在直线y=3x+2上,即有an=3n+2,则能推出{an}是等差数列;但反过来,{an}是等差数列,an=3n+2未必成立,所以是充分不必要条件,故选A.
(理)(2021·北京海淀期末)数列{an}满足a1=1,an+1=r·an+r(n∈N*,r∈R且r≠0),则“r=1”是“数列{an}成等差数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 若r=1,则an+1-an= 8、1(n∈N*),数列{an}成等差数列,充分性成立;
反之,当{an}是常数列时,∵a1=1,∴a2=r+r=1,此时r=,所以必要性不成立,故选A.
二、填空题
7.(文)在平面直角坐标系xOy中,直线x+(m+1)y=2-m与直线mx+2y=-8相互垂直的充要条件是m=________.
[答案] -
[解析] x+(m+1)y=2-m与mx+2y=-8垂直⇔
1·m+(m+1)·2=0,
得m=-.
(理)(2021·绍兴模拟)“-3 10、之亦成立.∴①是真命题;
②对任意自然数n,an+1>|an|≥0,∴an+1>an,∴{an}为递增数列;当取an=n-4时,则{an}为递增数列,但an+1>|an|不愿定成立,如a2>|a1|就不成立.∴②是真命题;
③由于|a+2b|=|a-2b|⇔(a+2b)2=(a-2b)2⇔a·b=0⇔a⊥b,因此p是q的充要条件,∴③是假命题;
④∵y=x是减函数,∴当m>n时,m 11、
③在△ABC中,“A>30°”是“sinA>”的充分不必要条件;
④“函数f(x)=tan(x+φ)为奇函数”的充要条件是“φ=kπ(k∈Z)”.其中真命题的序号是________(把真命题的序号都填上).
[答案] ①②
[解析] “∃x∈R,x2-x+1≤0”的否定为“∀x∈R,x2-x+1>0”,①是真命题;“若x2+x-6≥0,则x>2”的否命题是“若x2+x-6<0,则x≤2”,②也是真命题;在△ABC中,“A>30°”是“sinA>”的必要不充分条件,③是假命题;“函数f(x)=tan(x+φ)为奇函数”的充要条件是“φ=(k∈Z)”,④是假命题.
三、解答题
10. 12、已知p:|x-3|≤2,q:(x-m+1)(x-m-1)≤0,若¬p是¬q的充分而不必要条件,求实数m的取值范围.
[解析] 由题意p:-2≤x-3≤2,∴1≤x≤5.
∴¬p:x<1或x>5.q:m-1≤x≤m+1,
∴¬q:x 13、∴直线与圆相交;直线与圆相交时,圆心到直线的距离d=<1,∴- 14、定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( )
A.既不充分也不必要的条件
B.充分而不必要的条件
C.必要而不充分的条件
D.充要条件
[答案] D
[解析] ∵f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在[0,1]上为增函数,∴f(x)在[-1,0]上为减函数,∴当3≤x≤4时,-1≤x-4≤0,
∴当x∈[3,4]时,f(x)是减函数,反之也成立,故选D.
13.(2022·辽宁省协作校联考)以下推断正确的是( )
A.函数y=f(x)为R上可导函数,则f ′(x0)=0是x0为函数f(x)的极值点的 15、充要条件
B.命题“存在x∈R,x2+x-1<0”的否定是“任意x∈R,x2+x-1>0”
C.命题“在△ABC中,若A>B,则sinA>sinB”的逆命题为假命题
D.“b=0”是“函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数”的充要条件
[答案] D
[解析] 若x0是f(x)的极值点,则f ′(x0)=0,但f ′(x0)=0时,x0不愿定为f(x)的极值点,∴A错;“<”的否定应为“≥”,∴B错;在△ABC中,A>B⇔sinA>sinB,∴该命题的逆命题为真命题,∴C错;函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数⇔f(-x)=f(x)⇔ax2-bx+c=ax2+bx+c⇔2bx=0恒成 16、立⇔b=0.
14.(2021·濉溪县月考)已知条件p:≤-1,条件q:x2+x 17、0”;
②命题“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件;
③已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,),则f(4)的值等于;
④已知向量a=(3,-4),b=(2,1),则向量a在向量b方向上的投影是.
说法正确的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
[答案] A
[解析] ①命题“存在x∈R,x2-x>0”的否定是“对于任意x∈R,x2-x≤0”,故①不正确;
②命题“p且q为真”,则命题p、q均为真,所以“p或q为真”.反之“p或q为真”,则p、q不见得都真,所以不愿定有“p且q为真”所以命题“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件,故命题 18、②不正确;
③由幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,),所以2α=,所以α=-,所以幂函数为f(x)=x-,所以f(4)=4-=,所以命题③正确;
④向量a在向量b方向上的投影是|a|cosθ===,θ是a和b的夹角,故④错误.
二、填空题
16.设p:q:x2+y2>r2(x,y∈R,r>0),若p是q的充分不必要条件,则r的取值范围是________.
[答案] (0,)
[解析] 设A=(x,y),B={(x,y)|x2+y2>r2,x,y∈R,r>0},
则集合A表示的区域为图中阴影部分,集合B表示以原点为圆心,以r为半径的圆的外部,设原点到直线4x+3y-12=0 19、的距离为d,则
d==,
∵p是q的充分不必要条件,∴AB,则0 20、则a≤2且a≤,∴a≤.
综上知,a≤2.
18.设命题p:实数x满足x2-7ax+10a2<0,其中a≠0,
命题q:实数x满足
(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;
(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
[解析] (1)a=1时,p:x2-7x+10<0,
即p:2
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