2020年数学文(广西用)课时作业：第八章-第一节椭--圆.docx

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课时提升作业(三十八)
一、选择题
1.(2021·桂林模拟)圆锥曲线+=1的一条准线方程为x=4,则m=(　　)
(A)-5 (B)5 (C)-3 (D)3
2.(2021·百色模拟)假如椭圆的左焦点到左准线的距离等于长半轴的长,则其离心率为(　　)
(A) (B) (C)2 (D)
3.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是(　　)
(A)圆 (B)椭圆
(C)双曲线 (D)抛物线
4.(2021·柳州模拟)椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则
∠F1PF2的大小为(　　)
(A)30° (B)60° (C)120° (D)150°
5.已知F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,点B也在椭圆上,且满足+=0(O为坐标原点),·=0,若椭圆的离心率等于,则直线AB的方程是(　　)
(A)y=x (B)y=-x
(C)y=-x (D)y=x
6.(力气挑战题)已知点P是椭圆16x2+25y2=400上一点,且在x轴上方,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,直线PF2的斜率为-4,则△PF1F2的面积是(　　)
(A)24 (B)12 (C)6 (D)3
二、填空题
7.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为　　　　.
8.设F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则P点到椭圆左焦点距离为　　　　.
9.分别过椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2所作的两条相互垂直的直线l1,l2的交点在此椭圆的内部,则此椭圆的离心率的取值范围是　　　　.
三、解答题
10.(2021·来宾模拟)已知F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,M是椭圆上的点,且MF1⊥MF2.
(1)求△MF1F2的周长.
(2)求点M的坐标.
11.(2021·重庆模拟)椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的两倍,且过点A(2,1).
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)若直线l:x-1-y=0与椭圆C交于不同的两点M,N,求|MN|的值.
12.(力气挑战题)已知N(,0),P是圆M:(x+)2+y2=36(M为圆心)上一动点,线段PN的垂直平分线l交PM于Q点.
(1)求点Q的轨迹C的方程.
(2)若直线y=x+m与曲线C相交于A,B两点,求△AOB面积的最大值.

答案解析

1.【解析】选D.x==4,则有a2=4c.
若0<m<4,则a2=4,c=1,故m=3.
若m>4,则该曲线表示焦点在y轴的椭圆,不合题意,舍去.
若m<0,则a2=4,b2=-m,
∴c2=4-m,故==4,
解得m=3(舍去),故选D.
2.【解析】选D.据题意可知-c=a,整理得:a2-c2=ac,在等式两侧同除以a2得:e2+e-1=0,解得e=,∵e∈(0,1),∴e=.
3.【解析】选B.点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|=|PN|,又AM是圆的半径,∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,由椭圆的定义知,P的轨迹是椭圆.
4.【解析】选C.椭圆+=1,a2=9,a=3,b2=2,c2=a2-b2=7,所以c=,由于|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a=6,所以|PF2|=6-4=2,所以cos∠F1PF2==
=-,
所以∠F1PF2=120°.
5.【思路点拨】由+=0知,A,B两点关于原点对称,设出A点坐标,利用向量列方程求解.
【解析】选A.设A(x1,y1),由于+=0,所以
B(-x1,-y1),=(c-x1,-y1),=(2c,0),
又由于·=0,所以(c-x1,-y1)·(2c,0)=0,即x1=c,代入椭圆方程得y1=,由于离心率e=,所以,a=c,b=c,A(c,),所以直线AB的方程是y=x.
6.【解析】选C.由已知F1(-3,0),F2(3,0),所以直线PF2的方程为y=-4(x-3),代入16x2+25y2=400,整理得76x2-450x+650=0,解得:x=或x=(由于x<3,故舍去),
又点P(x,y)在椭圆上,且在x轴上方,得
16×()2+25y2=400,
解得y=2,
∴=|F1F2|·y=×6×2=6.
7.【解析】依据椭圆焦点在x轴上,可设椭圆方程为+=1(a>b>0).
∵e=,∴=.依据△ABF2的周长为16得4a=16,因此a=4,b=2,
所以椭圆方程为+=1.
答案:+=1
8.【解析】由于|OM|=3,数形结合得|PF2|=6,
又|PF1|+|PF2|=10,
∴|PF1|=4.
答案:4
9.【思路点拨】关键是由l1,l2的交点在此椭圆的内部,得到a,b,c间的关系,进而求得离心率e的取值范围.
【解析】由已知得交点P在以F1F2为直径的圆x2+y2=c2上.
又点P在椭圆内部,所以有c2<b2,
又b2=a2-c2,∴有c2<a2-c2,
即2c2<a2,亦即:<,
∴0<<.
答案:(0,)
10.【解析】椭圆+=1中,长半轴a=3,
焦距2c=2=10.
(1)依据椭圆定义,|MF1|+|MF2|=2a=6,
所以,△MF1F2的周长为|F1F2|+|MF1|+|MF2|=6+10.
(2)设点M坐标为(x0,y0),
由MF1⊥MF2得,|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2=102=100
又∵(|MF1|+|MF2|)2=(6)2=180,
∴|MF1|·|MF2|=[(|MF1|+|MF2|)2-(|MF1|2+|MF2|2)]=40.
∵=|MF1|·|MF2|=|F1F2|·|y0|,
∴|y0|=4,则|x0|=3,
∴点M坐标为(3,4)或(3,-4)或(-3,4)或(-3,-4).
11.【解析】(1)由条件a=2b,所以C:+=1,代入点(2,1)可得b=,椭圆C的标准方程为+=1.
(2)联立椭圆和直线方程可得5x2-8x-4=0,
所以x1+x2=,x1x2=-,
由相交弦长公式可得|MN|==.
12.【解析】(1)由题意得:|PQ|=|QN|,
|QM|+|QP|=|MP|,
∴|QM|+|QN|=|MP|.
而|MP|为圆(x+)2+y2=36的半径,
∴|MP|=6,∴|QM|+|QN|=6,
又M(-,0),N(,0),∴|MN|=2<6,
∴点Q在以M,N为焦点的椭圆上,
即2c=2,2a=6,
∴a=3,c=,b2=4,
∴点Q的轨迹方程为+=1.
(2)由消去y得
13x2+18mx+9m2-36=0.
由Δ=(18m)2-4×13(9m2-36)>0,
得-<m<.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-m,
x1x2=,
|AB|=|x1-x2|=
=
=.
设点O到直线AB的距离为d,则d=,
∴S△AOB=|AB|d=·×
=≤×=3,
当m=±时,等号成立,
∴当m=±时,△AOB面积的最大值为3.
【变式备选】(2021·成都模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)上的任意一点到它两个焦点(-c,0),(c,0)的距离之和为2,且它的焦距为2.
(1)求椭圆C的方程.
(2)已知直线x-y+m=0与椭圆C交于不同两点A,B,且线段AB的中点M不在圆x2+y2=内,求实数m的取值范围.
【解析】(1)由题,椭圆C:+=1(a>b>0)中,⇒
故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)联立方程⇒3x2+4mx+2m2-2=0,
则Δ=16m2-12(2m2-2)=8(-m2+3)>0⇒-<m<,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,
y1+y2=x1+x2+2m=,
故AB中点M(-,),
中点不在圆x2+y2=内,
则+≥⇒m≤-1或m≥1.
则实数m的取值范围为(-,-1]∪[1,).

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