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双基限时练(二十五)
一、选择题
1．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为( )
A．8π B．4π
C．2π D．π
解析 由题意，得r＝·＝，
∴S＝πr2＝2π.
答案 C
2．已知圆的方程为x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，那么下列直线中经过圆心的直线方程为( )
A．2x－y＋1＝0 B．2x－y－1＝0
C．2x＋y＋1＝0 D．2x＋y－1＝0
解析 圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的圆心(1，－3)，逐个检验可知C正确．
答案 C
3．若圆x2＋y2－4x－2y＝0的圆心到直线x＋y＋a＝0的距离为2，则a的值为( )
A．7或－1 B．－6或2
C．1或－7 D．2或－6
解析 ∵圆的圆心(2,1)，∴d＝＝2得a＝1，或a＝－7.
答案 C
4．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么x＋ay＋b＝0肯定不经过( )
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 由题可知，圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心，又圆心位于第三象限，
∴即
又x＋ay＋b＝0，令x＝0，y＝－＞0，
令y＝0，x＝－b＜0，∴直线不过第四象限．
答案 D
5．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为( )
A. B．5
C．2 D．10
解析 由题可知，圆心(－2，－1)在直线ax＋by＋1＝0上，故2a＋b＝1，∴(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(1－2a－2)2＝a2－4a＋4＋4a2＋4a＋1＝5a2＋5≥5.
答案 B
6．点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径为( )
A．2 B.
C．3 D．1
解析 由题可知，圆心在直线x－y＋1＝0上，即－＋1＋1＝0，得k＝4，
∴圆的半径r＝＝＝3.
答案 C
二、填空题
7．若方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0表示圆，则a的取值范围是________．
解析 由D2＋E2－4F＝4＋4－4a＞0，得a＜2.
答案 (－∞，2)
8．已知点P(2,1)在圆C：x2＋y2＋ax－2y＋b＝0上，点P关于x＋y－1＝0的对称点也在圆上，则圆C的圆心坐标为________，半径为________．
解析 由题意，得圆心在x＋y－1＝0上，故a＝0，∴圆心(0,1)，由两点间距离，得r＝2.
答案 (0,1) 2
9．圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________.
解析 ∵圆心(1,2)，∴d＝＝3.
答案 3
三、解答题
10．已知圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，当该圆面积最大时，求圆心坐标．
解 将方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0左端配方，得
2＋(y＋1)2＝1－.
故圆心坐标为，圆半径为.
∴当k＝0时，rmax＝1，圆面积取最大值π，此时，所求圆心坐标为(0，－1)．
11．求过原点及点A(1,1)，且在x轴上截得的线段长为3的圆的方程．
解 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
将点O(0,0)和点A(1,1)的坐标代入方程，
得
令y＝0，得x2＋Dx＝0.
所以x1＝0，x2＝－D.由|x2－x1|＝3，得|D|＝3.
所以D＝－3，E＝1或D＝3，E＝－5.
故所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y＝0或x2＋y2＋3x－5y＝0.
12．已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆，
(1)求实数m的取值范围；
(2)求圆心的轨迹方程．
解 (1)由题意，可得4(m＋3)2＋4(1－4m2)2－4(16m4＋9)>0，得－<m<1.
(2)设圆心的坐标为(x，y)，由题意，得
所以y＝4(x－3)2－1.
即为所求的圆心的轨迹方程．
思 维 探 究
13．求一个动点P在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点A(3,0)连线的中点M的轨迹方程．
解 设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)．由于点A的坐标为(3,0)且M是线段AP的中点，所以x＝，y＝，于是有x0＝2x－3，y0＝2y.
由于点P在圆x2＋y2＝1上移动，所以点P的坐标满足方程x＋y＝1，
则(2x－3)2＋4y2＝1，整理得2＋y2＝.
所以点M的轨迹方程为2＋y2＝.
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