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高二班级第四次月考
数 学 试 题
试卷Ⅰ（共 60 分）
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．
1. 设集合, 集合 , 则 =（ ）
A． B． C． D．
2. 已知命题：，，则是（ ）
A. B.
C. D.
3. 从三元、光明、蒙牛三种品牌的牛奶包装袋中抽取一个样本进行质量检测，实行分层抽样的方法进行抽取，已知三元、光明、蒙牛三种品牌牛奶的总体数（袋数）是1000,2000,3000，若抽取的样本中，光明品牌的样本数是10，则样本中三元品牌和蒙牛品牌的样本之和是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知向量，则的值为
A. B. C. D.
5.的内角的对边分别为，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 一简洁组合体的三视图如图所示，
则该组合体的体积为（ ）
A. B.
C. D.
7. 等比数列中，，则数列的前8项和等于 （ ）
A．6 B．5 C．3 D． 4
8. 若执行右边的程序框图，输出的值为4，则推断框中应填入的条件是（ ）
A． B． C． D．
9. 动点满足，点为，为坐标原点，，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
10. 设，若直线与轴相交于点，与轴相交于点，且与圆相交所得弦的长为，为坐标原点，则面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知是双曲线的左右两个焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数，其中，存在，使得 成立，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.1
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13. 若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则 ．
14．由直线，曲线以及轴围成的图形的面积为 ．
15.在平面几何中：的内角平分线分所成线段的比为．把这个
结论类比到空间：在三棱锥中，面平分二面角，且与相
交于，则得到类比的结论是 .
16.以下命题正确的是： .
①把函数的图象向右平移个单位，可得到的图象；
②四边形为长方形，为中点，在长方形内随机取一点，取得的点到的距离大于1的概率为；
③等差数列前项和为，则三点，，共线；
④已知是定义在上的函数的导函数，且满足，则不等式的解集为.
三、解答题: （本大题共6小题，共70分.）
17．（本题满分10分）已知等差数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；（2）记，的前项和为，求 .
18．（本题满分12分）在锐角中,角的对边分别为,且.
（1）求角的大小；
（2）求函数的值域.
19．(本小题满分12分)某校高二某班的一次数学测试成果(满分为分)的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：
(1)求分数在的频率及全班人数；
(2)求分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间的矩形的高；
(3)若要从分数在 之间的试卷中任取两份分析同学失分状况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在之间的概率．
20.（本题满分12分）在等腰梯形中，，
，，是的中点，将
梯形绕旋转90°，得到梯形（如图）．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．
21．（本小题满分12分）
已知圆，点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设直线与(Ⅰ)中轨迹相交于两点，直线的斜率分别为．△的面积为，以为直径的圆的面积分别为．若恰好构成等比数列，求的取值范围．
22．（本小题满分12分）已知函数．
（1）求函数的极大值；
（2）设定义在上的函数的最大值为，最小值为，且，求实数的取值范围．
高二班级数学试卷 （理科）答案
一、选择题ADBDC DDCDA DA
二、填空题13. 14． 15. 16.①③④
三、17． 解析： 依据已知条件，先设的首项为,公差为，
则，得………5分
由知，，……………………10分
18． 解：（1）∵,由正弦定理得：,
整理得：
即：
∵是锐角三角形的内角，∴ ∴,………6分
(2) ∵ ∴,
∵ ∴………8分
由即得：,…10分
又， ∴……………12分
19．解(1)分数在的频率为0.008×10=0.08， (2分)
由茎叶图知：分数在之间的频数为2，所以全班人数为=25， (4分)
(2)分数在之间的频数为25－2－7－10－2=4； (6分)
频率分布直方图中间的矩形的高为÷10=0.016． (8分)
(3)将之间的4个分数编号为1,2,3,4，之间的2个分数编号为5,6，
在之间的试卷中任取两份的基本大事为：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15个， (10分)
其中，至少有一份在之间的基本大事有9个，
故至少有一份分数在之间的概率是=0.6． (12分)
20、解析：（1）证明：，是的中点，∴，又，∴四边形是平行四边形，，又，，∴四边形是菱形，,，，即，又平面，，∴．（6分）
（2）解：∵，．
如图建立空间直角坐标系，设,，
设平面的法向量为，则 ,取，
则．
∵，∴，又，，∴，与交于点，则为的中点，，∴的法向量．，
由图形可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．（12分）
21．解析：（Ⅰ）连结，依据题意，|，则，
故动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆． 2分
设其方程为，可知，，则， 3分
所以点的轨迹的方程为为． 4分
(Ⅱ)设直线的方程为，，
由可得，
由韦达定理有：
且 6分
∵构成等比数列，=，即：
由韦达定理代入化简得：．∵ ， 8分
此时，即．又由三点不共线得
从而．
故
10分
又
则
为定值．
当且仅当时等号成立．综上： 12分
22.解：（Ⅰ）
当时，，所以在区间上为减函数，
当时，，所以在区间上为增函数，
所以 …………4分
（Ⅱ）由于所以 ………6分
① 当时，，在上单调递减，
由, 所以，即，得 ………8分
② 当时，，在上单调递增，
所以即，得 ……10分
③ 当时，在，，在上单调递减，在，，在上单调递增
所以 即 （）
由（Ⅰ）知在上单调递减故，而
所以不等式（）无解
综上所述，． ………………………………12分
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