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第四章 章末检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．tan 300°＋sin 450°的值为 ( )
A．1＋ B．1－
C．－1－ D．－1＋
2．(2010·北京市朝阳区一调)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称的是 ( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
3．函数y＝sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x的最小正周期和最小值为 ( )
A．π，0 B．2π，0
C．π，2－ D．2π，2－
4．(2010·四川)将函数y＝sin x的图象上全部的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 ( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
5．已知θ为其次象限角，sin(π－θ)＝，则cos 的值为 ( )
A. B. C．± D．±
6．(2011·孝感月考)已知f(x)＝sin x＋cos x (x∈R)，函数y＝f(x＋φ)的图象关于直线x＝0对称，则φ的值可以是 ( )
A. B. C. D.
7．已知cos＝，则sin2－cos的值是 ( )
A. B．－
C. D.
8．(2011·保定模拟)使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)是奇函数，且在上是减函数的θ的一个值是 ( )
A. B. C. D.
9．函数y＝2sin(x∈[0，π])为增函数的区间是 ( )
A. B.
C. D.
10.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ) (A>0，ω>0,0<φ<)的图象如图所示，则当t＝秒时，电流强度是 ( )
A．－5安 B．5安
C．5安 D．10安
11．(2010·辽宁)设ω>0，函数y＝sin(ωx＋)＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是 ( )
A. B. C. D．3
12．(2010·浙江)设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点( )
A．[－4，－2] B．[－2,0]
C．[0,2] D．[2,4]
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答 案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若函数f(x)＝2sin ωx (ω>0)在上单调递增，则ω的最大值为________．
14．(2010·全国Ⅰ)已知α为第三象限的角，cos 2α＝－，则tan＝________.
15．(2010·全国Ⅱ)已知α是其次象限的角，tan(π＋2α)＝－，则tan α＝________.
16．(2010·厦门高三质检一)给出下列命题：
①函数f(x)＝4cos的一个对称中心为；
②已知函数f(x)＝min{sin x，cos x}，则f(x)的值域为；
③若α，β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β.其中全部真命题的序号是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)(2011·商丘模拟)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<π)的图象的一段，求其解析式．
18．(12分)(2010·湖北)已知函数f(x)＝，g(x)＝sin 2x－.
(1)函数f(x)的图象可由函数g(x)的图象经过怎样变化得出？
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最小值，并求使h(x)取得最小值的x的集合．
19．(12分)已知向量a＝(sin x,2cos x)，b＝(2sin x，sin x)，函数f(x)＝a·b－1.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
(2)在给出的直角坐标系中，画出f(x)在区间[0，π]上的图象．
20．(12分)(2011·安阳模拟)已知tan α、tan β是方程x2－4x－2＝0的两个实根，求cos2(α＋β)＋2sin(α＋β)cos(α＋β)－3sin2(α＋β)的值．
21．(12分)(2011·深圳模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若α∈，f＝，求sin 的值．
22．(12分)(2010·山东)已知函数f(x)＝sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－sin(0<φ<π)，其图象过点.
(1)求φ的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在上的最大值和最小值．
答案 1．B [tan 300°＋sin 450°＝－tan 60°＋sin 90°＝1－.]
2．D [由题意ω＝＝2，又因对称轴为x＝，即x＝是三角函数的最值点，代入检验只有选项D的函数值为最大值1.]
3．C [f(x)＝sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x
＝1＋sin 2x＋(1＋cos 2x)
＝2＋sin，最小正周期为π，
当sin＝－1时，取得最小值为2－.]
4．C
5．C [∵θ为其次象限角，∴为第一、三象限角．
∴cos 的值有两个．
由sin(π－θ)＝，可知sin θ＝，
∴cos θ＝－.∴2cos2＝1＋cos θ＝.
∴cos＝±.]
6．D [f(x)＝2sin，
y＝f(x＋φ)＝2sin的图象关于x＝0对称，即为偶函数，∴＋φ＝＋kπ，φ＝kπ＋，k∈Z，当k＝0时，φ＝.]
7．A 8.B
9．C [∵y＝2sin
＝－2sin，
∴y＝2sin的递增区间实际上是
u＝2sin的递减区间，
即2kπ＋≤2x－≤2kπ＋ (k∈Z)，
解上式得kπ＋≤x≤kπ＋ (k∈Z)．
令k＝0，得≤x≤.
又∵x∈[0，π]，∴≤x≤.
即函数y＝2sin (x∈[0，π])的增区间为.]
10．A [由题图知
A＝10，＝－＝，
∴ω＝＝100π.
∴I＝10sin(100πt＋φ)．
∵为五点中的其次个点，
∴100π×＋φ＝.
∴φ＝.∴I＝10sin，
当t＝秒时，I＝－5安．]
11．C [将函数向右平移个单位后与原图象重合，得是此函数周期的整数倍．又ω>0，∴·k＝，∴ω＝k(k∈Z)，∴ωmin＝.]
12．A [由数形结合的思想，画出函数y＝4sin(2x＋1)与y＝x的图象，观看可知答案选A.
]
13.
解析 ∵f(x)在上递增，如图，故⊆，即≥.
∴ω≤.∴ωmax＝.
14．－
解析 ∵α为第三象限的角，2kπ＋π<α<2kπ＋，
∴4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π (k∈Z)，又cos 2α＝－.
∴sin 2α＝，tan 2α＝－，
∴tan＝＝－.
15．－
解析 由tan(π＋2α)＝－，得tan 2α＝－，
又tan 2α＝＝－，
解得tan α＝－或tan α＝2，又α是其次象限的角，
所以tan α＝－.
16．①②
解析 将x＝－代入f(x)＝4cos，
得f＝4cos＝4cos＝0，
故①为真命题；在同一坐标系内画出y＝sin x，y＝cos x的图象，f(x)＝min{sin x，cos x}的图象为y＝sin x，y＝cos x的图象中选取函数值小的各部分组成的图象，
由f(x)的图象知②是真命题；
由2π＋>，但sin<sin 知③是假命题．故答案为①②.
17．解 由图象可知振幅A＝，……………………………………………………(2分)
又∵周期T＝2＝π，
∴ω＝＝＝2，………………………………………………………………………(6分)
此时函数解析式为y＝sin(2x＋φ)．
又图象过点，由”五点法“作图的第一个点知，
2×＋φ＝0，∴φ＝－.………………………………………………………………(9分)
∴所求函数的解析式为
y＝sin.……………………………………………………………………(10分)
18．解 (1)f(x)＝cos 2x＝sin
＝sin 2，…………………………………………………………………………(3分)
所以要得到f(x)的图象只需要把g(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得的图象向上平移个单位长度即可．………………………………………………………………………(6分)
(2)h(x)＝f(x)－g(x)
＝cos 2x－sin 2x＋
＝cos＋.……………………………………………………………………(10分)
当2x＋＝2kπ＋π (k∈Z)时，
h(x)取得最小值－＋＝.
此时，对应的x的集合为.………………………………………(12分)
19．解 (1)f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x－1＝sin 2x－cos 2x＝sin，∴T＝＝π，
……………………………………………………………………………………………(3分)
当2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值.………………(6分)
(2)列表：
2x－
－
0
π
x
0
π
y
－1
0
0
－
－1
…………………………………………………………………………………………(9分)
描点连线，得函数图象如图所示：
…………………………………………………………………………………………(12分)
20．解 由已知有tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝－2，………………………………(2分)
∴tan(α＋β)＝＝，………………………………………………………(5分)
cos2(α＋β)＋2sin(α＋β)cos(α＋β)－3sin2(α＋β)
＝
＝…………………………………………………………(10分)
＝＝－.………………………………………………………………(12分)
21．解 (1)∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π，
∴T＝2π，则ω＝＝1.…………………………………………………………………(2分)
∴f(x)＝sin(x＋φ)．
∵f(x)是偶函数，∴φ＝kπ＋ (k∈Z)，…………………………………………………(5分)
又0≤φ≤π，∴φ＝.∴f(x)＝cos x．……………………………………………………(6分)
(2)由已知得cos＝，
∵α∈，
∴α＋∈，
则sin＝.………………………………………………………………………(8分)
∴sin＝－sin
＝－2sincos＝－.……………………………………………………(12分)
22．解 (1)f(x)＝sin 2xsin φ＋cos φ－cos φ
＝(sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ)
＝cos(2x－φ)．…………………………………………………………………………(3分)
又∵f(x)过点，
∴＝cos，
即cos(－φ)＝1.
由0<φ<π知φ＝.………………………………………………………………………(6分)
(2)由(1)知f(x)＝cos.
将f(x)图象上全部点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，变为g(x)＝cos(4x－)．
……………………………………………………………………………………………(8分)
∵0≤x≤，∴－≤4x－≤.
∴当4x－＝0，即x＝时，g(x)有最大值；
当4x－＝，即x＝时，g(x)有最小值－.…………………………………………(12分)
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