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推理与证明
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．观看下列各等式：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )
A.＋＝2
B.＋＝2
C.＋＝2
D.＋＝2
解析：选A 观看分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.
2．下列三句话按“三段论”模式排列挨次正确的是( )
①y＝cos x(x∈R)是三角函数；
②三角函数是周期函数；
③y＝cos x(x∈R)是周期函数．
A．①②③ B．②①③
C．②③① D．③②①
解析：选B 按三段论的模式，排列挨次正确的是②①③.
3．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四周体的内切球切于四个面________．”( )
A．各正三角形内一点 B．各正三角形的某高线上的点
C．各正三角形的中心 D．各正三角形外的某点
解析：选C 正三角形的边对应正四周体的面，边的中点对应正四周体的面正三角形的中心．
4．已知a∈(0，＋∞)，不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1，则a的值为( )
A．2n B．n2
C．22(n－1) D．nn
解析：选D 将四个答案分别用n＝1,2,3检验即可，故选D.
5．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足[f(x)]y＝f(xy)”的是( )
A．指数函数 B．对数函数
C．一次函数 D．余弦函数
解析：选A 当函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)时，对任意的x>0，y>0，有[f(x)]y＝(ax)y＝axy＝f(xy)，即指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)满足[f(x)]y＝f(xy)，可以检验，B，C，D选项均不满足要求．
6．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
依据上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( )
A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
解析：选C 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an＝6n＋2.
7．将平面对量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：( )
①a·b＝b·a；
②(a·b)·c＝a·(b·c)；
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；
④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c.
则正确的结论有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B 平面对量的数量积的运算满足交换律和支配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，从而b－c＝0或a⊥(b－c)，故④错误．
8．观看下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为( )
A．76 B．80
C．86 D．92
解析：选B 通过观看可以发觉|x|＋|y|的值为1,2,3时，对应的(x，y)的不同整数解的个数为4,8,12，可推出当|x|＋|y|＝n时，对应的不同整数解(x，y)的个数为4n，所以|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为80.
9．观看下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28 B．76
C．123 D．199
解析：选C 记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观看不难发觉f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.
所以a10＋b10＝123.
10．数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－，则a2 013等于( )
A. B.－1
C．2 D．3
解析：选C ∵a1＝，an＋1＝1－，
∴a2＝1－＝－1，
a3＝1－＝2，
a4＝1－＝，
a5＝1－＝－1，
a6＝1－＝2，
∴an＋3k＝an(n∈N*，k∈N*)
∴a2 013＝a3＋3×670＝a3＝2.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆＋＝1类似的性质为________________．
解析：圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆＋＝1类似的性质为：过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1.
答案：经过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1
12．已知 ＝2 ， ＝3 ， ＝4 ，…，若 ＝6 (a，b均为实数)，请推想a＝________，b＝________.
解析：由前面三个等式，推想归纳被平方数的整数与分数的关系，发觉规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推想中：a＝6，b＝62－1＝35，即a＝6，b＝35.
答案：6 35
13．若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1，x2，…，xn，总满足[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f，称函数f(x)为D上的凸函数；现已知f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数，则△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．
解析：由于f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数(小前提)，
所以(sin A＋sin B＋sin C)≤sin(结论)，
即sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝.
因此，sin A＋sin B＋sin C的最大值是.
答案：
14．观看下图：
1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
……
则第________行的各数之和等于2 0132.
解析：观看知，图中的第n行各数构成一个首项为n，公差为1，共2n－1项的等差数列，其各项和为
Sn＝(2n－1)n＋＝(2n－1)n＋(2n－1)(n－1)＝(2n－1)2，
令(2n－1)2＝2 0132，得2n－1＝2 013，解得n＝1 007.
答案：1 007
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明，证明过程或运算步骤．)
15．(本小题满分12分)(本小题满分12分)观看①sin210°＋cos240°＋sin 10°·cos 40°＝；
②sin26°＋cos236°＋sin 6°cos 36°＝.
由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．
解：猜想：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝.
证明如下：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)
＝＋＋[sin(30°＋2α)＋sin(－30°)]
＝1＋＋sin(2α＋30°)－
＝＋[cos 60°·cos 2α－sin 60°sin 2α－cos 2α]＋sin(2α＋30°)
＝－·＋sin(2α＋30°)
＝－sin(2α＋30°)＋sin(2α＋30°)＝，
即sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝.
16．(本小题满分12分)(本小题满分12分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若，，成等差数列．
(1)比较与的大小，并证明你的结论；
(2)求证：角B不行能是钝角．
解：(1)＜.证明如下：
要证＜，只需证＜.
∵a，b，c＞0，∴只需证b2＜ac.
∵，，成等差数列，
∴＝＋≥2，∴b2≤ac.
又a，b，c均不相等，∴b2＜ac.
故所得大小关系正确．
(2)证明：法一：假设角B是钝角，则cos B＜0.
由余弦定理得，
cos B＝≥＞＞0，
这与cos B＜0冲突，故假设不成立．
所以角B不行能是钝角．
法二：假设角B是钝角，则角B的对边b为最大边，即b＞a，b＞c，所以＞＞0，＞＞0，则＋＞＋＝，这与＋＝冲突，故假设不成立．
所以角B不行能是钝角．
17．(本小题满分12分)(本小题满分12分)我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？
(1)类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义．
(2)若{an}是等积数列，且首项a1＝2，公积为6，试写出{an}的通项公式及前n项和公式．
解：(1)假如一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积．
(2)由于{an}是等积数列，且首项a1＝2，公积为6，所以a2＝3，a3＝2，a4＝3，a5＝2，a6＝3，…，即{an}的全部奇数项都等于2，偶数项都等于3，因此{an}的通项公式为
an＝
其前n项和公式
Sn＝
18．(本小题满分14分)将数列{an}中的全部项按每一行比上一行多一项的规章排成如下数表：
a1
a2 a3
a4 a5 a6
a7 a8 a9 a10
…
记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{bn}，b1＝a1＝1.Sn为数列{bn}的前n项和，且满足＝1(n≥2)．
(1)证明数列成等差数列，并求数列{bn}的通项公式；
(2)上面数表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的挨次均构成等比数列，且公比为同一个正数．当a81＝－时，求上表中第k(k≥3)行全部项的和．
解：(1)由已知，当n≥2时，＝1，
又Sn＝b1＋b2＋…＋bn，
所以＝1，
即＝1，
所以－＝，
又S1＝b1＝a1＝1.
所以数列是首项为1，公差为的等差数列．
由上可知＝1＋(n－1)＝，
即Sn＝.
所以当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝－＝－.
因此bn＝
(2)设数表中从第三行起，每行的公比都为q，且q＞0.
由于1＋2＋…＋12＝＝78，
所以表中第1行至第12行共含有数列{an}的前78项，
故a81在表中第13行第三列，
因此a81＝b13·q2＝－.
又b13＝－，
所以q＝2.
记表中第k(k≥3)行全部项的和为S，
则S＝＝－·
＝(1－2k)(k≥3)．
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