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双基限时练(二十三) 向量应用举例
一、选择题
1．已知三个力＝(－2，－1)，＝(－3,2)，＝(4，－3)，同时作用于某物体上同一点，为使物体保持平衡，现加上一个力，则等于( )
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
解析 ∵＋＋＝(－2－3＋4，－1＋2－3)＝(－1，－2)，又＋＋＋＝0，∴＝(1,2)．
答案 D
2．过点P(2,1)，且垂直于向量a＝(－1,2)的直线方程为( )
A．x－2y＝0 B．x－2y－4＝0
C．2x－y＝0 D．2x－y－4＝0
解析 设Q(x，y)为直线上异于P的任意一点，由题意得·a＝0，得x－2y＝0，又P(2,1)在直线x－2y＝0上，故选A.
答案 A
3．若向量＝(2,2)，＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A．(0,5) B．(4，－1)
C．2 D．5
解析 ＋＝(0,5)，∴|F1＋F2|＝5.
答案 D
4．设O为△ABC所在平面内一点，且满足·＝·＝·，则O是△ABC的( )
A．内心 B．外心
C．垂心 D．重心
解析 由·＝·得·(－)＝0，即·＝0，∴OB⊥AC，同理，OA⊥BC，OC⊥AB，∴O为△ABC的垂心．
答案 C
5．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成120°角，且F1，F2的大小分别为1和2，则有( )
A．F1，F3成90°角
B．F1，F3成150°角
C．F2，F3成90°角
D．F2，F3成60°角
解析 由F1＋F2＋F3＝0⇒F3＝－(F1＋F2)⇒F＝(F1＋F2)2＝F＋F＋2|F1||F2|cos120°＝1＋4＋4×＝3⇒|F3|＝，由|F1|＝1，|F2|＝2，|F3|＝知，F1，F3成90°角，故选A.
答案 A
6．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同)，且每秒移动的距离为|v|个单位．设开头时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为( )
A．(－2,4) B．(－30,25)
C．(10，－5) D．(5，－10)
解析 设所求点P的坐标为(x，y)，则(x＋10，y－10)＝(20，－15)．
∴x＝10，y＝－5.
∴点P的坐标为(10，－5)．
答案 C
二、填空题
7．在△ABC中，||＝||＝2，且·＝2，则△ABC的外形是________．
解析 ∵·＝||·||cosA＝4cosA＝2，∴cosA＝，又∠A为△ABC的内角．∴∠A＝60°.
又||＝||，∴△ABC为等边三角形．
答案 等边三角形
8．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10N，方向与水平
面成60°，当小车向前运动10 m，则力做的功是__________．
解析 W＝F·cos60°·s＝5×10＝50 (J)．
答案 50 J
9．已知平面上三点A，B，C满足||＝2，||＝1，||＝，则·＋·＋·＝__________.
解析 由题可知，△ABC为直角三角形，∠C为直角，故·＋·＋·＝·＋·＝·(＋)＝·＝－||2＝－4.
答案 －4
10．在四边形ABCD中，＝＝(1,1)，＋＝，则四边形ABCD的面积为________．
解析 由题意知四边形ABCD为平行四边形，
且有||＝||＝，＝，
即＝，
两边平方，得1＋2＋1＝3，
∴＝，
则cos，＝，即∠B＝60°，
∴S＝||·||sin60°＝××＝.
答案
三、解答题
11．已知A(，－2)与B(－，4)，若PA＝PB，求动点P的轨迹方程．
解 设AB的中点为M，则M(0,1)，
设P(x，y)，则＝(－x,1－y)，＝(－2，6)．
∵PA＝PB，∴PM⊥AB.∴⊥.
∴2x＋6－6y＝0，
即所求轨迹方程为x－3y＋3＝0.
12．一辆汽车在平直大路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4 m/s，这时气象台报告的实际风速为2 m/s，试求风的实际方向和汽车速度的大小．
解 依据物理学问，有三对相对速度，车对地的速度为v车地，风对车的速度为v风车，风对地的速度为v风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v风地＝v风车＋v车地，如图所示．
依据向量求和的平行四边形法则，可知表示向量v风地的有向线段对应▱ABDC的对角线，由于||＝4，∠ACD＝30°，||＝2，所以∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，||＝||cos30°＝2，所以风的实际方向是正南方向，汽车速度的大小为2 m/s.
13．如图，D为△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.
证明 如图所示，
设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d.则a＝e＋c，b＝e＋d，
∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.
由条件知a2＝c2－d2＋b2，
∴e·c＝e·d，即e·(c－d)＝0.
∴·＝0.
∴⊥.
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