2021届高三数学第一轮复习北师大版素能提升训练-11-6-Word版含解析.docx

随机变量取值不全导致错误
[典例]　(2022·长沙模拟)盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个．第一次从盒子中任取1个球，放回后其次次再任取1个球(假设取到每个球的可能性都相同)．记第一次与其次次取得球的标号之和为ξ.
(1)求随机变量ξ的分布列；
(2)求随机变量ξ的期望．
[审题视角]　1.本题由于离散型随机变量ξ的取值状况较多，极易发生对随机变量取值考虑不全而导致解题错误．
2．此类问题还极易发生如下错误：虽然弄清随机变量的全部取值，但对某个取值考虑不全而导致解题错误．
3．避开以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为1.
[解析]　(1)由题意可得，随机变量ξ的取值是2,3,4,6,7,10.
且P(ξ＝2)＝0.3×0.3＝0.09，
P(ξ＝3)＝C×0.3×0.4＝0.24，
P(ξ＝4)＝0.4×0.4＝0.16，
P(ξ＝6)＝C×0.3×0.3＝0.18，
P(ξ＝7)＝C×0.4×0.3＝0.24，
P(ξ＝10)＝0.3×0.3＝0.09.故随机变量ξ的分布列如下：
ξ
2
3
4
6
7
10
P
0.09
0.24
0.16
0.18
0.24
0.09
(2)随机变量ξ的数学期望
Eξ＝2×0.09＋3×0.24＋4×0.16＋6×0.18＋7×0.24＋10×0.09＝5.2.

分布列正误的检验方法
对于离散型随机变量的分布列，要留意利用它的两共性质检验所列分布列是否正确，假如求出的离散型随机变量的分布列不满足这两共性质，这说明计算过程中存在错误；反之，也不能说明所得分布列确定是正确的．但要把握利用这两共性质推断计算过程是否存在错误的方法．

　(2022·日照模拟)在学校组织的足球竞赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这4场竞赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率相等．已知当这4场竞赛结束后，该班胜场多于负场．
(1)求该班级胜场多于负场的全部可能的个数和；
(2)若胜场次数为X，求X的分布列．
解：(1)若胜一场，则其余为平，共有C＝4种状况；若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有CC＋C＝18种状况；若胜三场，则其余一场为负或平，共有C×2＝8种状况；若胜四场，则只有一种状况．综上，共有31种状况．
(2)X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，所以X的分布列为
X
1
2
3
4
P