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A组 考点基础演练
一、选择题
1．直线2x＋my＝2m－4与直线mx＋2y＝m－2垂直的充要条件是( )
A．m＝2 B．m＝－2
C．m＝0 D．m∈R
解析：由题意得，2m＋2m＝0，得m＝0.故选C.
答案：C
2．已知直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：mx－y＝0平行，则实数m的取值为( )
A．－ B.
C．2 D．－2
解析：由于直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：mx－y＝0平行，所以＝≠0，解得m＝－，故选A.
答案：A
3．过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为( )
A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0
C．x＋3y－7＝0 D．3x＋y－5＝0
解析：当所求直线l与线段OA垂直时，原点到直线的距离最大．∵kOA＝2，∴kl＝－.
∴所求直线方程为：y－2＝－(x－1)．
即x＋2y－5＝0.
答案：A
4．(2021年南宁模拟)与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( )
A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0
C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0
解析：直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为3x－4(－y)＋5＝0.即3x＋4y＋5＝0.
答案：A
5．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上运动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A. B．2
C．3 D．4
解析：由题意知AB的中点M的集合为到直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0的距离都相等的直线，则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，依据平行线间的距离公式得，＝，即|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，即l：x＋y－6＝0，依据点到直线的距离公式，得点M到原点的距离的最小值为＝3.
答案：C
二、填空题
6．(2022年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．
解析：∵y＝ax2＋∴y′＝2ax－，
由题意可得解得
∴a＋b＝－3.
答案：－3
7．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则的值为________．
解析：由题意得，＝≠，
∴a＝－4，c≠－2.
则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0.
∴＝，∴解得c＝2或c＝－6
∴＝1或＝－1.
答案：±1
8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.
解析：设A(0,2)，B(4,0)，则线段AB的中点为(2,1)，
直线AB的斜率kAB＝＝－.
则线段AB的垂直平分线方程为y－1＝2(x－2)，
即2x－y－3＝0.
又点(7,3)与点(m，n)重合，则有
即
解之得m＝且n＝，∴m＋n＝.
答案：
三、解答题
9．已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)．
(1)若l1∥l2，求b的取值范围；
(2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值．
解析：(1)由于l1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0，
即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2＝－2＋，由于a2≥0，所以b≤0.
又由于a2＋1≠3，所以b≠－6.
故b的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．
(2)由于l1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0，
明显a≠0，所以ab＝a＋，|ab|＝≥2，当且仅当a＝±1时等号成立，因此|ab|的最小值为2.
10．已知直线l：3x－y＋3＝0，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点；
(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程．
解析：设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)．
∵kPP′·kl＝－1，即×3＝－1.①
又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，
∴3×－＋3＝0.②
由①②得
(1)把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，
∴P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．
(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于l的对称直线方程为－－2＝0，
化简得7x＋y＋22＝0.
B组 高考题型专练
1．(2021年洛阳统考)已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示( )
A．过点P且与l垂直的直线
B．过点P且与l平行的直线
C．不过点P且与l垂直的直线
D．不过点P且与l平行的直线
解析：由于点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上，所以Ax0＋By0＋C≠0，所以直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P，排解A、B；又直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行，排解C，故选D.
答案：D
2．P点在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则P点坐标为( )
A．(1,2) B．(2,1)
C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)
解析：设P(x,5－3x)，
则d＝＝，|4x－6|＝2,4x－6＝±2，
即x＝1或x＝2，故P(1,2)或(2，－1)．
答案：C
3．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝( )
A．2 B．－2
C．－ D.
解析：∵y′＝＝，∴曲线在点(3,2)处的切线的斜率k＝y′＝－，又该切线与直线ax＋y＋1＝0垂直， ∴－a·k＝－1，∴a＝－2，故选B.
答案：B
4．已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为( )
A．2x＋3y－18＝0
B．2x－y－2＝0
C．3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0
D．2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0
解析：由题意可知所求直线斜率存在，故设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，
由已知，得＝，
∴k＝2或－.
∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.
答案：D
5．在直角坐标系中，A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最终经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )
A．2 B．6
C．3 D．2
解析：如图，设点P关于直线AB，y轴的对称点分别为D，C，易求得D(4,2)，C(－2,0)，则△PMN的周长＝|PM|＋|MN|＋|PN|＝|DM|＋|MN|＋|NC|.由对称性，D，M，N，C共线，∴|CD|即为所求，由两点间的距离公式得|CD|＝＝2.
答案：A
6．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．
解析：由得
∴点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.
答案：－9
7．已知两条平行直线，l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0间的距离为，则直线l1的方程为________．
解析：∵l1∥l2，∴＝≠，∴或
①当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，把l2的方程写成4x＋8y－2＝0，
∴＝，解得n＝－22或18.
故所求直线的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.
②当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，l2的方程为4x－8y－2＝0，∴＝，
解得n＝－18或22.
故所求直线的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.
答案：2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0
8．(2021年厦门调研)若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是：①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.其中正确答案的序号是________(写出全部正确答案的序号)．
解析：记直线m的倾斜角是θ.由题意知直线l1、l2间的距离等于＝.又直线m被直线l1、l2所截得的线段的长是2，因此直线m与直线l1的夹角的正弦值等于＝，直线m与直线l1的夹角是30°，又直线l1的倾斜角是45°，因此θ＝15°或θ＝75°，故正确答案的序号是①⑤.
答案：①⑤
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