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其次章 平面几何初步（B）
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．如图直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则有( )
A．α1<α2<α3 B．α1<α3<α2
C．α3<α2<α1 D．α2<α1<α3
2．直线x＋2y－5＝0与2x＋4y＋a＝0之间的距离为，则a等于( )
A．0 B．－20
C．0或－20 D．0或－10
3．若直线l1：ax＋3y＋1＝0与l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0相互平行，则a的值是( )
A．－3 B．2
C．－3或2 D．3或－2
4．下列说法正确的是( )
A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
C．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示
D．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示
5．过点M(2,1)的直线与x轴，y轴分别交于P，Q两点，且|MP|＝|MQ|，则l的方程是( )
A．x－2y＋3＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x＋y－5＝0 D．x＋2y－4＝0
6．点A(3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是( )
A．(－3,4，－10) B．(－3,2，－4)
C． D．(6，－5,11)
7．若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则实数k的取值范围是( )
A．k>2 B．－3<k<2
C．k<－3或k>2 D．以上都不对
8．假如AC<0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
9．直线l：ax－y＋b＝0，圆M：x2＋y2－2ax＋2by＝0，则l与M在同一坐标系中的图形可能是( )
10．将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为( )
A．－3或7 B．－2或8
C．0或10 D．1或11
11．若圆x2＋y2＝4和圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为( )
A．x＋y＝0 B．x＋y－2＝0
C．x－y－2＝0 D．x－y＋2＝0
12．直线y＝x＋b与曲线x＝有且只有一个公共点，则b的取值范围是( )
A．|b|＝
B．－1<b<1或b＝－
C．－1<b≤1
D．－1<b≤1或b＝－
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．点M(1,2，－3)关于原点的对称点是________．
14．原点O在直线l上的射影为点H(－2,1)，则直线l的方程为________．
15．经过点(－5,2)且横、纵截距相等的直线方程是__________________．
16．两圆x2＋y2＋4y＝0，x2＋y2＋2(a－1)x＋2y＋a2＝0在交点处的切线相互垂直，那么实数a的值为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知三条直线l1：x－2y＝0，l2：y＋1＝0，l3：2x＋y－1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程．
18．(12分)在三棱柱ABO－A′B′O′中，∠AOB＝90°，侧棱OO′⊥面OAB，OA＝OB＝OO′＝2．若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小．
19．(12分)如图，已知△ABC中A(－8,2)，AB边上中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程．
20．(12分)已知动直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9．
(1)求证：无论m为何值，直线l与圆C总相交．
(2)m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最小？恳求出该最小值．
21．(12分)矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1，1)在AD边所在直线上．
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆的方程．
22．(12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．
(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．
其次章 平面解析几何初步(B) 答案
1．B 2．C 3．A
4．D [斜率有可能不存在，截距也有可能不存在．]
5．D [由题意可知M为线段PQ的中点，Q(0,2)，P(4，0)，可求得直线l的方程x＋2y－4＝0．]
6．A [设点A关于点(0,1，－3)的对称点为A′(x，y，z)，则(0,1，－3)为线段AA′的中点，即＝0，＝1，＝－3，∴x＝－3，y＝4，z＝－10．
∴A′(－3,4，－10)．]
7．C [由题意知点在圆外，故12＋22＋k＋2×2＋k2－15>0，解得k<－3或k>2．]
8．C [将原直线方程化为斜截式为y＝－x－，由AC<0且BC<0，可知AB>0，直线斜率为负，截距为正，故不过第三象限．]
9．B [由直线的斜率a与在y轴上的截距b的符号，可判定圆心位置，又圆过原点，所以只有B符合．]
10．A [直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位得2x－y＋λ＋2＝0，
圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为C(－1,2)，r＝，d＝＝，λ＝－3，或λ＝7．]
11．D [l为两圆圆心连线的垂直平分线，(0,0)与(－2，2)的中点为(－1,1)，kl＝1，
∴y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0．]
12．D [如图，由数形结合知，选D．]
13．(－1，－2,3)
14．2x－y＋5＝0
解析 所求直线应过点(－2,1)且斜率为2，故可求直线为2x－y＋5＝0．
15．y＝－x或x＋y＋3＝0
解析 不能忽视直线过原点的状况．
(1)直线过原点时，设方程为y＝kx，从
而求得k＝－．
(2)直线不过原点时，设方程为＋＝1，
求得a＝－3．
16．－2
解析 两圆心与交点构成始终角三角形，由勾股定理和半径范围可知a＝－2．
17．解
l2平行于x轴，l1与l3相互垂直．三交点A，B，C构成直角三角形，经过A，B，C三点的圆就是以AB为直径的圆．
解方程组得
所以点A的坐标是(－2，－1)．
解方程组得
所以点B的坐标是(1，－1)．
线段AB的中点坐标是，
又|AB|＝＝3．
所求圆的标准方程是2＋(y＋1)2＝．
18．解
如图所示，
以三棱原点，以OA、OB、OO′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz．
由OA＝OB＝OO′＝2，得A(2,0,0)、B(0,2,0)、O(0,0,0)，
A′(2,0,2)、B′(0,2,2)、O′(0,0,2)．
由C为线段O′A的中点得C点坐标为(1,0,1)，设E点坐标为(0,2，z)，
∴|EC|＝
＝．
故当z＝1时，|EC|取得最小值为．
此时E(0,2,1)为线段BB′的中点．
19．解 设B(x0，y0)，
则AB中点E的坐标为，
由条件可得：，
得，解得，即B(6,4)，同理可求得C点的坐标为(5,0)．故所求直线BC的方程为＝，即4x－y－20＝0．
20．(1)证明 直线l变形为m(x－y＋1)＋(3x－2y)＝0．令解得
如图所示，故动直线l恒过定点A(2,3)．
而|AC|＝＝<3(半径)．
∴点A在圆内，故无论m取何值，直线l与圆C总相交．
(2)解 由平面几何学问知，弦心距越大，弦长越小，即当AC垂直直线l时，弦长最小．
此时kl·kAC＝－1，即·＝－1，
解得m＝－．
∴最小值为2＝2．
故m为－时，直线l被圆C所截得的弦长最小，且最小值为2．
21．解 (1)∵AB所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，∴直线AD的斜率为－3．
又∵点T(－1,1)在直线AD上，∴AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0．
(2)由得
∴点A的坐标为(0，－2)，
∵矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)，
∴M为矩形ABCD外接圆的圆心，
又|AM|＝＝2，
∴矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8．
22．解 (1)将圆C整理得(x＋1)2＋(y－2)2＝2．
①当切线在两坐标轴上的截距为零时，
设切线方程为y＝kx，
∴圆心到切线的距离为＝，
即k2－4k－2＝0，解得k＝2±．
∴y＝(2±)x；
②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x＋y－a＝0，
∴圆心到切线的距离为＝，
即|a－1|＝2，解得a＝3或－1．
∴x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．综上所述，所求切线方程为y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．
(2)∵|PO|＝|PM|，
∴x＋y＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，即2x1－4y1＋3＝0，即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上．
当|PM|取最小值时，即|OP|取得最小值，
此时直线OP⊥l，
∴直线OP的方程为：2x＋y＝0，
解得方程组得
∴P点坐标为．
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