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§2.4 空间直角坐标系
2.4.1 空间直角坐标系
【课时目标】 1．了解空间直角坐标系的建系方式．2．把握空间中任意一点的表示方法．3．能在空间直角坐标系中求出点的坐标．
1．为了确定空间点的位置，我们在平面直角坐标系xOy的基础上，通过原点O，再作一条数轴z，使它与x轴、y轴都垂直，这样它们中的任意两条都____________；轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿______时针方向转90°能与y轴的正半轴重合，这时我们说在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做坐标原点．
2．过空间中的任意一点P，作一个平面平行于平面yOz，这个平面与x轴的交点记为Px，它在x轴上的坐标为x，这个数x叫做点P的________，过点P作一个平面平行于平面xOz(垂直于y轴)，这个平面与y轴的交点记为Py，它在y轴上的坐标为y，这个数y就叫做点P的________，过点P作一个平面平行于坐标平面xOy(垂直于z轴)，这个平面与z轴的交点记为Pz，它在z轴上的坐标为z，这个数z就叫做点P的________，这样，我们对空间中的一个点，定义了三个实数的有序数组作为它的坐标，记作____________．
3．三个坐标平面把空间分为______部分，每一部分都称为一个________，在坐标平面xOy上方，分别对应当坐标平面上四个象限的卦限称为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，在下方的卦限称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限．
一、选择题
1．在空间直角坐标系中，点A(1,2，－3)关于x轴的对称点为( )
A．(1，－2，－3) B．(1，－2,3)
C．(1,2,3) D．(－1,2，－3)
2．设y∈R，则点P(1，y,2)的集合为( )
A．垂直于xOz平面的一条直线
B．平行于xOz平面的一条直线
C．垂直于y轴的一个平面
D．平行于y轴的一个平面
3．结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为的小正方体积累成的正方体)．其中实圆•代表钠原子，空间圆代表氯原子．建立空间直角坐标系Oxyz后，图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是( )
A． B．(0,0,1)
C． D．
4．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)关于yOz平面的对称点的坐标为( )
A．(－3,4,5) B．(－3，－4,5)
C．(3，－4，－5) D．(－3,4，－5)
5．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)、Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是( )
A．关于x轴对称 B．关于yOz平面对称
C．关于坐标原点对称 D．以上都不对
6．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是( )
A． B．|a| C．|b| D．|c|
二、填空题
7．在空间直角坐标系中，下列说法中：①在x轴上的点的坐标确定是(0，b，c)；②在yOz平面上的点的坐标确定可写成(0，b，c)；③在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c)；④在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)．其中正确说法的序号是________．
8．在空间直角坐标系中，点P的坐标为(1，，)，过点P作yOz平面的垂线PQ，则垂足Q的坐标是________________________________________________________________________．
9．连接平面上两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的线段P1P2的中点M的坐标为，那么，已知空间中两点P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)，线段P1P2的中点M的坐标为________________．
三、解答题
10．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E、F、G是DD1、BD、BB1的中点，且正方体棱长为1．请建立适当坐标系，写出正方体各顶点及E、F、G的坐标．
11．如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1的对称中心在坐标原点O，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．
力气提升
12．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2．试建立适当的空间直角坐标系，求出A、B、C、D、P、E的坐标．
13．如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8．BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A、B、C、D、E、F的坐标．
1．点坐标的确定实质是过此点作三条坐标轴的垂面，一个垂面与x轴交点的横坐标为该点的横坐标，一个垂面与y轴交点的纵坐标为该点的纵坐标，另一个垂面与z轴交点的竖坐标为该点的竖坐标．
2．明确空间直角坐标系中的对称关系，可简记作：“关于谁对称，谁不变，其余均相反；关于原点对称，均相反”．
①点(x，y，z)关于xOy面，yOz面，xOz面，x轴，y轴，z轴，原点的对称点依次为(x，y，－z)，(－x，y，z)，(x，－y，z)，(x，－y，－z)，(－x，y，－z)，(－x，－y，z)，(－x，－y，－z)．
②点(x，y，z)在xOy面，yOz面，xOz面，x轴，y轴，z轴上的投影点坐标依次为(x，y,0)，(0，y，z)，(x,0，z)，(x,0,0)，(0，y,0)，(0,0，z)．
§2．4 空间直角坐标系
2．4．1 空间直角坐标系
答案
学问梳理
1．相互垂直 逆
2．x坐标 y坐标 z坐标 P(x，y，z)
3．八 卦限
作业设计
1．B [两点关于x轴对称，坐标关系：横坐标相同，纵竖坐标相反．]
2．A 3．A
4．A [两点关于平面yOz对称，坐标关系：横坐标相反，纵竖坐标相同．]
5．C [三坐标均相反时，两点关于原点对称．]
6．D 7．②③④ 8．(0，，)
9．
10．解
如图所示，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，
B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)，E，F，G．
11．解 由于已经建立了空间直角坐标系，由图可直接求出各点的坐标：B(－2,3，－1)，C(2,3，－1)，D(2，－3，－1)，A1(－2，－3,1)，B1(－2,3,1)，
C1(2,3,1)，D1(2，－3,1)．
12．
解 如图所示，以A为原点，以AB所在直线为x轴，AP所在直线为z轴，过点A与xAz平面垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是
A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(，，0)，D(，，0)，P(0,0,2)，E(1，，0)．
13．解 由于AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，所以OE与两圆所在的平面也都垂直．
又由于AB＝AC＝6，BC是圆O的直径，所以△BAC为等腰直角三角形且AF⊥BC，BC＝6．
以O为原点，OB、OF、OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、E、F各个点的坐标分别为A(0，－3，0)、B(3，0,0)、C(－3，0,0)、D(0，－3，8)、
E(0,0,8)、F(0,3，0)．
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