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其次章 平面解析几何初步(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下列叙述中不正确的是( )
A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应
B．每一条直线都有唯一对应的倾斜角
C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°
D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α
2．假如直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，则系数a为( )
A．－3 B．－6 C．－ D．
3．在同始终角坐标系中，表示直线y＝ax与直线y＝x＋a的图象(如图所示)正确的是( )
4．若三点A(3,1)，B(－2，b)，C(8,11)在同始终线上，则实数b等于( )
A．2 B．3 C．9 D．－9
5．过点(3，－4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( )
A．x＋y＋1＝0
B．4x－3y＝0
C．4x＋3y＝0
D．4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0
6．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是( )
A．4 B． C． D．
7．已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0相互垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为( )
A．－4 B．20 C．0 D．24
8．圆(x＋2)2＋y2＝5关于y轴对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋y2＝5
B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5
D．x2＋(y＋2)2＝5
9．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是( )
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝9
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
10．已知圆C：x2＋y2－4x－5＝0，则过点P(1,2)的最短弦所在直线l的方程是( )
A．3x＋2y－7＝0 B．2x＋y－4＝0
C．x－2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0
11．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx－y－9＝0的两个交点恰好关于y轴对称，则k等于( )
A．0 B．1 C．2 D．3
12．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )
A．5 B．10 C． D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．在空间直角坐标系Oxyz中，点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的正射影，则|OB|＝________________________________________________________________________．
14．假如A(1,3)关于直线l的对称点为B(－5,1)，则直线l的方程是________________．
15．已知直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别相交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率为________．
16．若x∈R，有意义且满足x2＋y2－4x＋1＝0，则的最大值为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)平行四边形的两邻边所在直线的方程为x＋y＋1＝0及3x－4＝0，其对角线的交点是D(3,3)，求另两边所在的直线的方程．
18．(12分)已知△ABC的两条高线所在直线方程为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A(1,2)．
求(1)BC边所在的直线方程；
(2)△ABC的面积．
19．(12分)已知一个圆和直线l：x＋2y－3＝0相切于点P(1,1)，且半径为5，求这个圆的方程．
20．(12分)设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，求圆的方程．
21．(12分)如图所示，某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2)，B(4,0)，一条河所在的直线方程为l：x＋2y－10＝0，若在河边l上建一座供水站P，使之到A，B两镇的管道最省，那么供水站P应建在什么地方？并说明理由．
22．(12分)已知坐标平面上点M(x，y)与两个定点M1(26,1)，M2(2,1)的距离之比等于5．
(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)记(1)中的轨迹为C，过点M(－2,3)的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．
其次章 平面解析几何初步(A) 答案
1．D [α＝90°时，斜率不存在．∴选D．]
2．B [当两直线平行时有关系＝≠，可求得a＝－6．]
3．C
4．D [由kAB＝kAC得b＝－9．]
5．D [当截距均为0时，设方程为y＝kx，将点(3，－4)
代入得k＝－；当截距不为0时，设方程为＋＝1，将(3，－4)代入得a＝－1．]
6．D
7．A [垂足(1，c)是两直线的交点，且l1⊥l2，故－·＝－1，∴a＝10．l：10x＋4y－2＝0．将(1，c)代入，得c＝－2；将(1，－2)代入l2：得b＝－12．则a＋b＋c＝10＋(－12)＋(－2)＝－4．]
8．A [(x，y)关于y轴的对称点坐标(－x，y)，则得(－x＋2)2＋y2＝5．]
9．C [圆心为(2，－3)，半径为2，故方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝4．]
10．D [化成标准方程(x－2)2＋y2＝9，过点P(1,2)的最短弦所在直线l应与PC垂直，故有kl·kPC＝－1，由kPC＝－2得kl＝，进而得直线l的方程为x－2y＋3＝0．]
11．A [将两方程联立消去y后得(k2＋1)x2＋2kx－9＝0，由题意此方程两根之和为0，故k＝0．]
12．D [由于点A(1,2)在圆x2＋y2＝5上，故过点A的圆的切线方程为x＋2y＝5，
令x＝0得y＝．
令y＝0得x＝5，故S△＝××5＝．]
13．
解析 易知点B坐标为(0,2,3)，故OB＝．
14．3x＋y＋4＝0
15．－
解析 设P(x,1)则Q(2－x，－3)，将Q坐标代入x－y－7＝0得，2－x＋3－7＝0．
∴x＝－2，∴P(－2,1)，∴kl＝－．
16．
解析 x2＋y2－4x＋1＝0(y≥0)表示的图形是位于x轴上方的半圆，而的最大值是半圆上的点和原点连线斜率的最大值，结合图形易求得最大值为．
17．解 由题意得解得
即平行四边形给定两邻边的顶点为．
又对角线交点为D(3,3)，则此对角线上另一顶点为．
∵另两边所在直线分别与直线x＋y＋1＝0及3x－y＋4＝0平行，∴它们的斜率分别为
－1及3，
即它们的方程为y－＝－
及y－＝3，
∴另外两边所在直线方程分别为x＋y－13＝0和3x－y－16＝0．
18．解 (1)∵A点不在两条高线上，由两条直线垂直的条件可设kAB＝－，kAC＝1．
∴AB、AC边所在的直线方程为3x＋2y－7＝0，
x－y＋1＝0．
由得B(7，－7)．
由得C(－2，－1)．
∴BC边所在的直线方程2x＋3y＋7＝0．
(2)∵|BC|＝，
A点到BC边的距离d＝，
∴S△ABC＝×d×|BC|＝××＝．
19．解 设圆心坐标为C(a，b)，
则圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝25．
∵点P(1,1)在圆上，
∴(1－a)2＋(1－b)2＝25．
又∵CP⊥l，∴＝2，即b－1＝2(a－1)．
解方程组
得或
故所求圆的方程是
(x－1－)2＋(y－1－2)2＝25或(x－1＋)2＋(y－1＋2)2＝25．
20．解 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∵圆上的点A(2,3)关于x＋2y＝0的对称点仍在圆上，∴圆心(a，b)在直线x＋2y＝0上，
即a＋2b＝0． ①
圆被直线x－y＋1＝0截得的弦长为2，
∴2＋()2＝r2． ②
由点A(2,3)在圆上得(2－a)2＋(3－b)2＝r2． ③
由①②③解得或
∴圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244．
21．解
如图所示，过A作直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，若P′(异于P)在直线上，
则|AP′|＋|BP′|＝|A′P′|＋|BP′|>|A′B|．
因此，供水站只有在P点处，才能取得最小值，设A′(a，b)，则AA′的中点在l上，且AA′⊥l，
即解得即A′(3,6)．所以直线A′B的方程为
6x＋y－24＝0，
解方程组得
所以P点的坐标为．
故供水站应建在点P处．
22．解 (1)由题意，得＝5．
＝5，
化简，得x2＋y2－2x－2y－23＝0．
即(x－1)2＋(y－1)2＝25．
∴点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25，
轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆．
(2)当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，
此时所截得的线段的长为2＝8，
∴l：x＝－2符合题意．
当直线l的斜率存在时，设l的方程为
y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，
圆心到l的距离d＝，
由题意，得2＋42＝52，解得k＝．
∴直线l的方程为x－y＋＝0．
即5x－12y＋46＝0．
综上，直线l的方程为
x＝－2，或5x－12y＋46＝0．
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