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第4讲 平面对量应用举例
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为________．
解析 ∵·＝0，∴⊥，
∴四边形ABCD的面积S＝||·||＝××2＝5.
答案 5
2．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的外形肯定是________三角形(填“等边”、“等腰”、“直角”、“等腰直角”)．
解析 由(＋)·＝||2，
得·(＋－)＝0，
即·(＋＋)＝0,2·＝0，
∴⊥，∴A＝90°.
又依据已知条件不能得到||＝||，
故△ABC肯定是直角三角形．
答案 直角
3．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹是________．
解析 ＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，
∴·＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，∴y2＝x＋6.
答案 抛物线
4．(2021·广州综合测试)在△ABC中，若·＝·＝2，则边AB的长等于________．
解析 由题意知·＋·＝4，即·(＋)＝4，即·＝4，∴||＝2.
答案 2
5．(2021·南通检测)设O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心)．若＝＋，则∠BAC的度数等于________．
解析 取BC的中点D，连接AD，则＋＝2 .由题意得3＝2，∴AD为BC的中线且O为重心．又O为外心，∴△ABC为正三角形，∴∠BAC＝60°.
答案 60°
6．(2021·宿迁摸底)已知非零向量a，b满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则向量a与b的夹角为________．
解析 由非零向量a，b满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，得(a－2b)·a＝|a|2－2a·b＝0，(b－2a)·b＝|b|2－2a·b＝0，所以|a|2＝2a·b＝|b|2，设向量a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]，则cos θ＝＝，所以θ＝.
答案
7．(2022·天津十二区县重点中学联考)在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的最大值为________．
解析 以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则C(1,1)，M，设E(x,0)，x∈[0,1]，则·＝(1－x,1)·＝(1－x)2＋，x∈[0,1]单调递减，当x＝0时，·取得最大值.
答案
8．(2021·苏北四市模拟)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值与最小值的和为________．
解析 由题意可得a·b＝cos θ－sin θ＝2cos，则|2a－b|＝＝＝∈[0,4]，所以|2a－b|的最大值与最小值的和为4.
答案 4
二、解答题
9．(2021·长沙模拟)已知向量a＝，b＝(cos x，－1)．
(1)当a∥b时，求tan 2x的值；
(2)求函数f(x)＝(a＋b)·b在上的值域．
解 (1)∵a∥b，∴sin x·(－1)－·cos x＝0，
即sin x＋cos x＝0，
tan x＝－，∴tan 2x＝＝.
(2)f(x)＝(a＋b)·b＝a·b＋b2
＝sin xcos x－＋cos2x＋1
＝sin 2x－＋cos 2x＋＋1
＝sin.
∵－≤x≤0，
∴－π≤2x≤0，－≤2x＋≤，
∴－≤sin≤，
∴f(x)的值域为.
10．(2022·陕西卷)在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且＝m＋n(m，n∈R)．
(1)若m＝n＝，求||；
(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．
解 (1)∵m＝n＝，＝(1,2)，＝(2,1)，
∴＝(1,2)＋(2,1)＝(2,2)，
∴||＝＝2.
(2)∵＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，
∴
两式相减，得m－n＝y－x.
令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
1．在△ABC中，A＝90°，AB＝1，AC＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－2，则λ＝________.
解析 ∵＝－＝(1－λ)－，
＝－＝λ－，
∴·＝－2⇒[(1－λ)－]·[λ－]＝－2，
化简得(1－λ)λ·－(1－λ)2－λ2＋·
＝－2，又由于·＝0，2＝4，2＝1，所以解得λ＝.
答案
2．(2022·衡水中学一调)已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则向量a与b的夹角的范围是________．
解析 设a与b的夹角为θ.
∵f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx.
∴f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b.
∵函数f(x)在R上有极值，
∴方程x2＋|a|x＋a·b＝0有两个不同的实数根，
即Δ＝|a|2－4a·b＞0，∴a·b＜，
又∵|a|＝2|b|≠0，
∴cos θ＝＜＝，即cos θ＜，
又∵θ∈[0，π]，∴θ∈.
答案
3．(2021·南京模拟)在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝，则·的取值范围为________．
解析 以点C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(2,0)，B(0,2)，斜边AB所在直线的方程为x＋y＝2，x∈[0,2]．由于MN＝，则可设M(x,2－x)，N(x＋1,1－x)，且x∈[0,2]，x＋1∈[0,2]，所以x∈[0,1]，此时·＝x(x＋1)＋(2－x)(1－x)＝2x2－2x＋2，x∈[0,1]，由二次函数图象可得x＝时，·取得最小值；当x＝0或1时，·取得最大值2，所以·的取值范围是.
答案
4．(2021·扬州调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m＝(sin A，sin B－sin C)，n＝(a－b，b＋c)，且m⊥n.
(1)求角C的值；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求a－b的取值范围．
解 (1)由m＝(sin A，sin B－sin C)，n＝(a－b，b＋c)得sin A·(a－b)＋(sin B－sin C)(b＋c)＝0，
即a(a－b)＋(b－c)(b＋c)＝0，故a2＋b2－c2＝ab，
所以2abcos C＝ab，cos C＝.
由C∈(0，π)，C＝.
(2)由(1)得A＋B＝，即B＝－A，
又△ABC为锐角三角形，故从而＜A＜.
由c＝1，所以＝＝，
故a＝2sin A，b＝2sin B，
所以a－b＝2sin A－2sin B
＝2sin A－2sin
＝2sin A－2sincos A－2cossin A
＝sin A－cos A
＝2sin.
由＜A＜，所以＜A－＜，
所以＜sin＜，即a－b∈(1，).
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