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7 高中学业水平考试《数学》模拟试卷(七)
一、选择题(本大题共25小题，第1～15题每小题2分，第16～25题每小题3分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)
1. 假如P＝，Q＝，那么( )
A. P∩Q＝Q B. P⊆Q C. P⊇Q D. P∪Q＝R
2. 已知f(x)＝x3＋2x，则f(a)＋f(－a)的值是( )
A. 0 B. －1 C. 1 D. 2
3. 下列幂函数中过点(0，0)，(1，1)的偶函数是( )
A. y＝x B. y＝x4 C. y＝x－2 D. y＝x
4. 直线x＋2y＋3＝0的斜率是( )
A. － B. C. －2 D. 2
5. 若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于( )
A. B. 1 C. 2 D. 3
6. “a＝0”是“ab＝0”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 若lg x有意义，则函数y＝x2＋3x－5的值域是( )
A. [－，＋∞) B. (－，＋∞)
C. [－5，＋∞) D. (－5，＋∞)
8. 一几何体的正视图和侧视图为边长为2的等边三角形，俯视图是直径为2的圆，则此几何体的表面积为( )
A. 4π＋2 B. 2π＋2 C. 3π D. 2π
9. 直线kx－y＋1＝3k，当k变动时，全部直线都通过定点( )
A. (0，0) B. (0，1) C. (3，1) D. (2，1)
10. 抛物线y＝－x2的准线方程是( )
A. x＝ B. y＝2 C. y＝ D. y＝－2
11. 直线x－y＋3＝0被圆(x＋2)2＋(y－2)2＝2截得的弦长等于( )
A. B. C. 2 D.
12. 数列1，3，6，10…的通项公式an可能是( )
A. n2－(n－1) B. n(n＋1)
C. (n－1) D. (n＋1)
13. 假如直线l是平面α的斜线，那么在平面α内( )
A. 不存在与l平行的直线 B. 不存在与l垂直的直线
C. 与l垂直的直线只有一条 D. 与l平行的直线有无穷多条
14. 过空间一点作平面，使其同时与两条异面直线平行，这样的平面( )
A. 只有一个 B. 至多有两个
C. 不愿定有 D. 有很多个
15. 假如一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，那么这个三棱锥的体积是( )
A. B. 9 C. D.
16. 已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1，1)，且与线段AB相交，则直线l的斜率的取值k范围是( )
A. k≥或k≤－4 B. k≥或k≤－
C. －4≤k≤ D. ≤k≤4
17. 设a，b∈R且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( )
A. 6 B. 4 C. 2 D. 2
18. 已知3a＝2，那么log38－2log36用a表示是( )
A. a－2 B. 5a－2 C. 3a－(1＋a)2 D. 3a－a2
19. 已知两点F1(－1，0)，F2(1，0)，且是与的等差中项，则动点P的轨迹方程是( )
A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1
20. 假如直线l与两条直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P，Q两点．线段PQ的中点坐标为，那么直线l的斜率是( )
A. B. C. － D. －
21. 为了得到函数y＝3sin 2x，x∈R的图象，只需将函数y＝3sin，x∈R的图象上全部的点( )
A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度
C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度
22. 在以下关于向量的命题中，不正确的是( )
A. 若向量a＝(x，y)，向量b＝(－y，x)(xy≠0)，则a⊥b
B. 点G是△ABC的重心，则＋＋＝0
C. 若四边形ABCD为菱形，则＝， 且||＝||
D. △ABC中，和的夹角等于180°－∠A
23. 设函数f (x)＝sinx，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2009)的值等于( )
A. B. C. D. 2＋
24. 抛物线y＝x2到直线 2x－y＝4距离最近的点的坐标是( )
A. (，) B. (1，1) C. (，) D. (2，4)
25. 已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝3|PF2|, 则双曲线离心率的取值范围为( )
A. (1，2) B. C. (3，＋∞) D.
二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)
26. 在△ABC中，b＝3，c＝5，∠A＝120°，则a＝________．
27. 命题“存在有理数x，使x2－2＝0”的否命题为_________________．
28. 若函数y＝f(x)的定义域是[2，4]，则y＝f(logx)的定义域是________．
29. 若函数f(x)＝ax2＋2x＋5在(4，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
30. 已知点P到点F(3，0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则点P满足的方程为________．
三、解答题(本大题共4小题，第31，32题每题7分，第33，34题每题8分，共30分)
31. (本题7分)已知sin α＝2cos α，求：
(1)；
(2)sin2α＋2sin αcos α.
32. (本题7分，有A、B两题，任选其中一题完成，两题都做，以A题计分)
(A)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD, 点F为PC 的中点．
(1)求证：PA∥平面BDF；
(2)求证：平面PAC⊥平面BDF.
,[第32题(A)]) ,[第32题(B)])
(B)如图所示，已知点P在正方体ABCDA′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小；
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．
33. (本题8分)从点P(－3，3)发出的一束直线光线l射到x轴上，经x轴反射后与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在的直线方程．
34. (本题8分)已知椭圆的焦点在x轴上，短轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线l过该椭圆的左焦点，交椭圆于M，N两点，且＝ ，求直线l的方程．
7 2022高中学业水平考试《数学》模拟试卷(七)
1. B 2. A 3. B 4. A 5. D 6. A 7. D
8. C 9. C 10. B 11. D 12. B 13. A 14. C
15. B 16. A 17. B 18. A 19. C 20. C
21. C 22. B
23. D [提示：T＝12，∴f＋f＋…＋f(2009)＝f＋f＋…＋f＝2＋.]
24. B [提示：设抛物线上的点，d＝＝，∴当x＝1时，dmin＝.]
25. B [提示：－＝2a，∴＝3a≥a＋c，∴c≤2a，∴e＝≤2.]
26. 7 27. 任意有理数x，使x2－2≠0
28. [提示：2≤logx≤4，≤x≤，≤x≤.]
29. a≥0 30. y2＝12x
31. 解：(1)＝＝－.
(2)sin2α＋2sin αcos α＝＝＝.
(第32题)
32. (A)(1)证明：连接AC，BD与AC交于点O，连接OF.∵ABCD是菱形，∴O是AC的中点．∵点F为PC的中点，∴OF∥PA.∵OF⊂平面BDF，PA⊄平面BDF, ∴PA∥平面BDF.
(2)证明： ∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD, ∴PA⊥AC.∵OF∥PA，∴OF⊥AC.∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∵OF∩BD＝O，∴AC⊥平面BDF.∵AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面BDF.
[第32题(B)]
(B)解：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为1，则＝(1，0，0)，＝(0，0，1)，连接BD，B′D′.在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.设＝(m，m，1)(m>0)，由已知〈，〉＝60°，又由·＝||||cos〈，〉，可得2m＝，解得m＝.∴＝.(1)∵cos〈，〉＝＝，∴〈，〉＝45°，即DP与CC′所成角的大小为45°.
(2)平面AA′D′D的一个法向量是＝(0，1，0)．∵cos〈，〉＝＝，∴〈，〉＝60°，可得DP与平面AA′D′D所成角的大小为30°.
33. 解：圆的圆心坐标为(2，2), 半径为1.点P 关于x轴对称的点为Q(－3，－3), 设反射光线斜率为k，k明显存在，方程为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0，由题意得＝1，解得k＝或k＝.故入射光线的斜率为－或－，方程为3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.
34. 解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1，由已知得2b＝4，e＝＝，a2＝b2＋c2，解得a2＝5，b＝2，c2＝1，c＝1，∴ 所求椭圆标准方程为＋＝1①.
(2)设l的斜率为k，M，N的坐标分别为M(x1，y1), N(x2，y2)．∵椭圆的左焦点为(－1，0)，∴l的方程为y＝k(x＋1)②. 联立①②可得＋＝1，∴(4＋5k2)x2＋10k2x＋5k2－20＝0，∴x1＋x2＝－，x1x2＝.又∵＝＝，即＝，∴[(x1＋x2)2－4x1x2](1＋k2)＝，∴(1＋k2)＝，∴[100k4－4(5k2－20)(4＋5k2)](1＋k2)＝(4＋5k2)2，∴320(1＋k2)2＝(4＋5k2)2，∴1＋k2＝(4＋5k2)，∴k2＝1，k＝±1，∴l的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.
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