2021高考数学(文理通用)一轮课时作业13-任意角和弧度制及任意角的三角函数.docx

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课时提升作业(十三)
任意角和弧度制及任意角的三角函数
(45分钟　100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.下列说法中,正确的是(　　)
A.钝角必是其次象限角,其次象限角必是钝角
B.第三象限的角必大于其次象限的角
C.小于90°的角是锐角
D.-95°20′,984°40′,264°40′是终边相同的角
【解析】选D.锐角α指的是在0°<α<90°范围内的角,所以确定在第一象限,但小于90°的角不愿定是锐角,如-20°.钝角β指的是在90°<β<180°范围内的角,所以确定在其次象限,但反之不对.第三象限的角(如-135°)并不比其次象限的角(如135°)大.984°40′-(-95°20′)=1080°,984°40′-264°40′=720°,故它们是终边相同的角.
【误区警示】锐角、钝角、小于90°的角是从范围而言的,而象限角是从终边的位置来说的,它们的概念不同,应对其正确区分,否则极易出错.
2.若α为其次象限角,则|sinα|sinα+tanα|tanα|的值是(　　)
A.0 B.2 C.-2 D.不存在
【解析】选A.α为其次象限角,则sinα>0,|sinα|sinα=1,tanα<0,tanα|tanα|=-1,所以|sinα|sinα+tanα|tanα|=0.
3.(2021·潍坊模拟)如图,在直角坐标系xOy中,射线OP交单位圆O于点P,若∠AOP=θ,则点P的坐标是(　　)
A.(cosθ,sinθ)
B.(-cosθ,sinθ)
C.(sinθ,cosθ)
D.(-sinθ,cosθ)
【解析】选A.由三角函数定义知,点P的横坐标x=cosθ,
纵坐标y=sinθ.
4.θ是其次象限角,则下列选项中确定为正值的是(　　)
A.sinθ2 B.cosθ2
C.tanθ2 D.cos2θ
【解析】选C.由于θ是其次象限角,所以θ2为第一或第三象限角,所以tanθ2>0,故选C.
5.(2021·太原模拟)已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-2,3] B.(-2,3) C.[-2,3) D.[-2,3]
【解析】选A.由cosα≤0,sinα>0可知,角α的终边落在其次象限内或y轴的非负半轴上,所以有
3a-9≤0,a+2>0,即-2<a≤3.
【误区警示】本题在解答过程中易毁灭忽视角α的终边落在y轴的非负半轴上,导致误选B的错误.缘由是忽视了轴线角.
6.圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为(　　)
A.π6 B.π3 C.3 D.3
【解析】选D.设圆半径为R,则其内接正三角形的边长为3R,于是圆心角的弧度数为3RR=3.
7.(2022·舟山模拟)已知点P(sinα-cosα,tanα)在第一象限,则在[0,2π]内α的取值范围是(　　)
A.π4,π2 B.π,5π4
C.3π4,5π4 D.π4,π2∪π,5π4
【解析】选D.由题意知sinα-cosα>0,tanα>0,0≤α≤2π,由三角函数线可得π4<α<5π4,0<α<π2或π<α<3π2,
故π4<α<π2或π<α<5π4.
8.已知sinα>sinβ,那么下列说法成立的是(　　)
A.若α,β是第一象限角,则cosα>cosβ
B.若α,β是其次象限角,则tanα>tanβ
C.若α,β是第三象限角,则cosα>cosβ
D.若α,β是第四象限角,则tanα>tanβ
【思路点拨】分别作出三角函数线,利用三角函数线比较.
【解析】选D.如图(1),α,β的终边分别为OP,OQ,sinα=MP>NQ=sinβ,此时OM<ON,所以cosα<cosβ,故A错;

如图(2),OP,OQ分别为角α,β的终边,MP>NQ,即sinα>sinβ,但有向线段AC<AB,即tanα<tanβ,故B错;
如图(3),角α,β的终边分别为OP,OQ,有向线段MP>NQ,即sinα>sinβ,但有向线段OM<ON,即cosα<cosβ,故C错;
如图(4),角α,β的终边分别为OP,OQ,有向线段MP>NQ,即sinα>sinβ,而有向线段AB>AC,即tanα>tanβ,故D正确.

二、填空题(每小题5分,共20分)
9.(2022·嘉兴模拟)图中阴影部分表示的角α的集合为　　　　　　.

【解析】{α|2kπ≤α≤π6+2kπ,k∈Z}∪{α|(2k+1)π≤α≤π6+2(k+1)π,k∈Z}={α|nπ≤α≤π6+nπ,n∈Z}.
答案:{α|nπ≤α≤π6+nπ,n∈Z}
10.已知α=2022°,则与角α终边相同的最小正角为　　　　,最大负角为　　　　　.
【思路点拨】写出与α终边相同的角的集合,确定最小正角和最大负角.
【解析】α可以写成360°×5+214°的形式,则与α终边相同的角可以写成k·360°+214°(k∈Z)的形式.当k=0时,可得与角α终边相同的最小正角为
214°,当k=-1时,可得最大负角为-146°.
答案:214°　-146°
11.(2021·保定模拟)已知角α的终边经过点P(-x,-6),且cosα=-513,则x的值为　　　　.
【解析】由于cosα=-513,所以角α的终边在其次、三象限且x>0,由于cosα=-x(-x)2+(-6)2=-513,所以x=52.
答案:52
12.点P从(1,0)动身,沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q点,则Q点的坐标为　　　　.
【思路点拨】点Q在单位圆上,故可直接利用三角函数的定义求解.
【解析】由三角函数定义可知Q点的坐标(x,y)满足x=cos2π3=-12,y=sin2π3=32.
答案:-12,32
三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.已知扇形OAB的圆心角α为120°,半径长为6,
(1)求AB的弧长.
(2)求弓形的面积.
【解析】(1)由于α=120°=2π3,r=6,
所以AB的弧长为l=2π3×6=4π.
(2)由于S扇形OAB=12lr=12×4π×6=12π,
S△ABO=12r2·sin2π3=12×62×32=93,
所以S弓形=S扇形OAB-S△ABO=12π-93.
【加固训练】
已知一扇形的圆心角为α,若扇形的周长为40,当它的圆心角α为多少弧度时,该扇形的面积最大?最大面积为多少?
【解析】设扇形的半径为r,弧长为l,则l+2r=40,
则l=40-2r(0<r<20),①
扇形的面积S=12lr,将①代入,得S=12(40-2r)r=-r2+20r=-(r-10)2+100,
所以当且仅当r=10时,S有最大值100.
此时l=40-2×10=20,α==2.
所以当α=2rad时,扇形的面积取最大值100.
14.角α的终边上的点P与A(a,b)关于x轴对称(a≠0,b≠0),角β的终边上的点Q与A关于直线y=x对称,求sinαcosβ+tanαtanβ+1cosαsinβ的值.
【解析】P(a,-b),sinα=-ba2+b2,cosα=aa2+b2,
tanα=-ba,Q(b,a),sinβ=aa2+b2,
cosβ=ba2+b2,tanβ=ab,
所以sinαcosβ+tanαtanβ+1cosαsinβ
=-1-b2a2+a2+b2a2=0.
【加固训练】
已知角α终边经过点P(x,-2)(x≠0),且cosα=36x.求sinα+1tanα的值.
【解析】由于P(x,-2)(x≠0),
所以点P到原点的距离r=x2+2,
又cosα=36x,
所以cosα=xx2+2=36x.
由于x≠0,所以x=±10,所以r=23.
当x=10时,P点坐标为(10,-2),
由三角函数的定义,有sinα=-66,1tanα=-5,
所以sinα+1tanα=-66-5=-65+66;
当x=-10时,
同理可求得sinα+1tanα=65-66.
15.(力气挑战题)如图所示,动点P,Q从点A(4,0)动身沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒钟转π3弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转π6弧度,求P,Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P,Q点各自走过的弧长.

【解析】设P,Q第一次相遇时所用的时间是t,
则t·π3+t·-π6=2π.
所以t=4(秒),即第一次相遇的时间为4秒.
设第一次相遇点为C,第一次相遇时P点已运动到终边在π3·4=4π3的位置,
则xC=-cosπ3·4=-2,yC=-sinπ3·4=-23.
所以C点的坐标为(-2,-23).
P点走过的弧长为43π·4=163π,
Q点走过的弧长为23π·4=83π.
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