2021届高考数学总复习课时训练：第9章-平面解析几何第4课时-圆-的-方-程-.docx

第九章　平面解析几何第4课时　圆 的 方 程

1. 已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是__．
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝13
解析：由题意可知一条直径的两个端点分别为(4，0)和(0，－6)，则直径长为＝2，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
2. 圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于A(0，－4)、B(0，－2)两点，则圆C的方程为____．
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5
解析：圆心既在线段AB的垂直平分线即y＝－3上，又在2x－y－7＝0上，即圆心坐标为(2，－3)，r＝.
3. 已知点A是Rt△ABC的直角顶点，且A(a，2)，B(－4，a)，C(a＋1，1)，则△ABC的外接圆的方程是__．
答案：(x＋2)2＋y2＝5
解析：kAB＝，kAC＝－1.∵ AB⊥AC，∴ kAB·kAC＝·(－1)＝－1，解得a＝－1.∴ △ABC的外接圆是以B(－4，－1)，C(0，1)为直径的圆，∴所求圆的方程是(x＋2)2＋y2＝5.
4. 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是__．
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝1
解析：依题意设圆心C(a，1)(a＞0)，由圆C与直线4x－3y＝0相切，得＝1，解得a＝2，则圆C的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1.
5. 假如三角形三个顶点分别是O(0，0)，A(0，15)，B(－8，0)，则它的内切圆方程为____________．
答案：(x＋3)2＋(y－3)2＝9
解析：由于△AOB是直角三角形，所以内切圆半径为r＝＝＝3，圆心坐标为(－3，3)，故内切圆方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝9.
6. 已知x、y满足x2＋y2＝1，则的最小值为________．
答案：
解析：表示圆上的点P(x，y)与点Q(1，2)连线的斜率，所以的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ的方程为y－2＝k(x－1)即kx－y＋2－k＝0.由＝1得k＝，结合图形可知，≥，故最小值为.

7. 由直线y＝x＋2上的点P向圆C：(x－4)2＋(y＋2)2＝1引切线PT(T为切点)，当PT最小时，点P的坐标是________．
答案：(0，2)
解析：依据切线长、圆的半径和圆心到点P的距离的关系，可知PT＝，故PT最小时，即PC最小，此时PC垂直于直线y＝x＋2，则直线PC的方程为y＋2＝－(x－4)，即y＝－x＋2，联立方程解得点P的坐标为(0，2)．
8. 在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．
答案：10
解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1，3)，半径是，且点E(0，1)位于该圆内，故过点E(0，1)的最短弦长BD＝2＝2(注：过圆内确定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0，1)的最长弦长等于该圆的直径，即AC＝2，且AC⊥BD，因此四边形ABCD的面积为AC×BD＝×2×2＝10.
9. 已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且CD＝4.
(1) 求直线CD的方程；
(2) 求圆P的方程．
解：(1) 直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1，2)．
则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋y－3＝0.
(2) 设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0.①
又∵ 直径CD＝4，∴ PA＝2，
∴ (a＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得或
∴ 圆心P(－3，6)或P(5，－2)．
∴ 圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
10. 已知圆x2＋y2＝4上确定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P、Q为圆上的动点．
(1) 求线段AP中点的轨迹方程；
(2) 若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解：(1) 设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．
由于P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2) 设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，PN＝BN，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
11. 已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于O、A两点，与y轴交于O、B两点，其中O为原点．
(1) 求证：△OAB的面积为定值；
(2) 设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M、N，若OM＝ON，求圆C的方程．
(1) 证明：∵圆C过原点O，∴OC2＝t2＋.设圆C的方程是(x－t)2＋2＝t2＋ .令x＝0，得y1＝0，y2＝；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，∴S△OAB＝OA×OB＝××|2t|＝4，即△OAB的面积为定值．
(2) 解：∵OM＝ON，CM＝CN，∴OC垂直平分线段是MN.∵kMN＝－2，∴koc＝，∴直线OC的方程是y＝x .
∴＝t，解得t＝2或t＝－2.当t＝2时，圆心C的坐标为(2，1)，OC＝，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>，圆C与直线y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合题意故舍去．
∴圆C的方程为 (x－2)2＋(y－1)2＝5 .