1、第九章平面解析几何第4课时圆 的 方 程1. 已知一圆的圆心为点(2,3),一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上,则此圆的方程是_答案:(x2)2(y3)213解析:由题意可知一条直径的两个端点分别为(4,0)和(0,6),则直径长为2,所以所求圆的方程为(x2)2(y3)213.2. 圆心在直线2xy70上的圆C与y轴交于A(0,4)、B(0,2)两点,则圆C的方程为_答案:(x2)2(y3)25解析:圆心既在线段AB的垂直平分线即y3上,又在2xy70上,即圆心坐标为(2,3),r.3. 已知点A是RtABC的直角顶点,且A(a,2),B(4,a),C(a1,1),则ABC的外接圆的方程是
2、_答案:(x2)2y25解析:kAB,kAC1. ABAC, kABkAC(1)1,解得a1. ABC的外接圆是以B(4,1),C(0,1)为直径的圆,所求圆的方程是(x2)2y25.4. 若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x3y0和x轴都相切,则该圆的标准方程是_答案:(x2)2(y1)21解析:依题意设圆心C(a,1)(a0),由圆C与直线4x3y0相切,得1,解得a2,则圆C的标准方程是(x2)2(y1)21.5. 假如三角形三个顶点分别是O(0,0),A(0,15),B(8,0),则它的内切圆方程为_答案:(x3)2(y3)29解析:由于AOB是直角三角形,所以内切圆半径为r
3、3,圆心坐标为(3,3),故内切圆方程为(x3)2(y3)29.6. 已知x、y满足x2y21,则的最小值为_答案:解析:表示圆上的点P(x,y)与点Q(1,2)连线的斜率,所以的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率设直线PQ的方程为y2k(x1)即kxy2k0.由1得k,结合图形可知,故最小值为.7. 由直线yx2上的点P向圆C:(x4)2(y2)21引切线PT(T为切点),当PT最小时,点P的坐标是_答案:(0,2)解析:依据切线长、圆的半径和圆心到点P的距离的关系,可知PT,故PT最小时,即PC最小,此时PC垂直于直线yx2,则直线PC的方程为y2(x4),即yx2,联立方程解得点P的坐标为
4、(0,2)8. 在圆x2y22x6y0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为_答案:10解析:由题意可知,圆的圆心坐标是(1,3),半径是,且点E(0,1)位于该圆内,故过点E(0,1)的最短弦长BD22(注:过圆内确定点的最短弦是以该点为中点的弦),过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径,即AC2,且ACBD,因此四边形ABCD的面积为ACBD2210.9. 已知以点P为圆心的圆经过点A(1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且CD4.(1) 求直线CD的方程;(2) 求圆P的方程解:(1) 直线AB的斜率k1,AB的中点坐标
5、为(1,2)则直线CD的方程为y2(x1),即xy30.(2) 设圆心P(a,b),则由P在CD上得ab30.又 直径CD4, PA2, (a1)2b240.由解得或 圆心P(3,6)或P(5,2) 圆P的方程为(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)240.10. 已知圆x2y24上确定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P、Q为圆上的动点(1) 求线段AP中点的轨迹方程;(2) 若PBQ90,求线段PQ中点的轨迹方程解:(1) 设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x2,2y)由于P点在圆x2y24上,所以(2x2)2(2y)24.故线段AP中点的轨迹方程为
6、(x1)2y21.(2) 设PQ的中点为N(x,y),在RtPBQ中,PNBN,设O为坐标原点,连接ON,则ONPQ,所以OP2ON2PN2ON2BN2,所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.11. 已知以点C(tR,t0)为圆心的圆与x轴交于O、A两点,与y轴交于O、B两点,其中O为原点(1) 求证:OAB的面积为定值;(2) 设直线y2x4与圆C交于点M、N,若OMON,求圆C的方程(1) 证明:圆C过原点O,OC2t2.设圆C的方程是(xt)22t2 .令x0,得y10,y2;令y0,得x10,x22t,SOABOAOB|2t|4,即OAB的面积为定值(2) 解:OMON,CMCN,OC垂直平分线段是MN.kMN2,koc,直线OC的方程是yx .t,解得t2或t2.当t2时,圆心C的坐标为(2,1),OC,此时C到直线y2x4的距离d,圆C与直线y2x4不相交,t2不符合题意故舍去圆C的方程为 (x2)2(y1)25 .