1、第九章平面解析几何第4课时圆 的 方 程1. 已知一圆的圆心为点(2，3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是_答案：(x2)2(y3)213解析：由题意可知一条直径的两个端点分别为(4，0)和(0，6)，则直径长为2，所以所求圆的方程为(x2)2(y3)213.2. 圆心在直线2xy70上的圆C与y轴交于A(0，4)、B(0，2)两点，则圆C的方程为_答案：(x2)2(y3)25解析：圆心既在线段AB的垂直平分线即y3上，又在2xy70上，即圆心坐标为(2，3)，r.3. 已知点A是RtABC的直角顶点，且A(a，2)，B(4，a)，C(a1，1)，则ABC的外接圆的方程是
2、_答案：(x2)2y25解析：kAB，kAC1. ABAC， kABkAC(1)1，解得a1. ABC的外接圆是以B(4，1)，C(0，1)为直径的圆，所求圆的方程是(x2)2y25.4. 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是_答案：(x2)2(y1)21解析：依题意设圆心C(a，1)(a0)，由圆C与直线4x3y0相切，得1，解得a2，则圆C的标准方程是(x2)2(y1)21.5. 假如三角形三个顶点分别是O(0，0)，A(0，15)，B(8，0)，则它的内切圆方程为_答案：(x3)2(y3)29解析：由于AOB是直角三角形，所以内切圆半径为r
3、3，圆心坐标为(3，3)，故内切圆方程为(x3)2(y3)29.6. 已知x、y满足x2y21，则的最小值为_答案：解析：表示圆上的点P(x，y)与点Q(1，2)连线的斜率，所以的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率设直线PQ的方程为y2k(x1)即kxy2k0.由1得k，结合图形可知，故最小值为.7. 由直线yx2上的点P向圆C：(x4)2(y2)21引切线PT(T为切点)，当PT最小时，点P的坐标是_答案：(0，2)解析：依据切线长、圆的半径和圆心到点P的距离的关系，可知PT，故PT最小时，即PC最小，此时PC垂直于直线yx2，则直线PC的方程为y2(x4)，即yx2，联立方程解得点P的坐标为
4、(0，2)8. 在圆x2y22x6y0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为_答案：10解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1，3)，半径是，且点E(0，1)位于该圆内，故过点E(0，1)的最短弦长BD22(注：过圆内确定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0，1)的最长弦长等于该圆的直径，即AC2，且ACBD，因此四边形ABCD的面积为ACBD2210.9. 已知以点P为圆心的圆经过点A(1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且CD4.(1) 求直线CD的方程；(2) 求圆P的方程解：(1) 直线AB的斜率k1，AB的中点坐标
5、为(1，2)则直线CD的方程为y2(x1)，即xy30.(2) 设圆心P(a，b)，则由P在CD上得ab30.又 直径CD4， PA2， (a1)2b240.由解得或 圆心P(3，6)或P(5，2) 圆P的方程为(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)240.10. 已知圆x2y24上确定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P、Q为圆上的动点(1) 求线段AP中点的轨迹方程；(2) 若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程解：(1) 设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2，2y)由于P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故线段AP中点的轨迹方程为
6、(x1)2y21.(2) 设PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ中，PNBN，设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以OP2ON2PN2ON2BN2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.11. 已知以点C(tR，t0)为圆心的圆与x轴交于O、A两点，与y轴交于O、B两点，其中O为原点(1) 求证：OAB的面积为定值；(2) 设直线y2x4与圆C交于点M、N，若OMON，求圆C的方程(1) 证明：圆C过原点O，OC2t2.设圆C的方程是(xt)22t2 .令x0，得y10，y2；令y0，得x10，x22t，SOABOAOB|2t|4，即OAB的面积为定值(2) 解：OMON，CMCN，OC垂直平分线段是MN.kMN2，koc，直线OC的方程是yx .t，解得t2或t2.当t2时，圆心C的坐标为(2，1)，OC，此时C到直线y2x4的距离d，圆C与直线y2x4不相交，t2不符合题意故舍去圆C的方程为 (x2)2(y1)25 .
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