2022届数学一轮(文科)人教B版配套作业-第2章-第3讲-函数的奇偶性与周期性.docx

第3讲 函数的奇偶性与周期性

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2022·重庆卷)下列函数为偶函数的是 (　　)
A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x
解析　函数f(x)＝x－1和f(x)＝x2＋x既不是偶函数也不是奇函数，排解选项A和选项B；选项C中f(x)＝2x－2－x，则f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)，所以f(x)＝2x－2－x为奇函数，排解选项C；选项D中f(x)＝2x＋2－x，则f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以f(x)＝2x＋2－x为偶函数，故选D.
答案　D
2．(2022·烟台模拟)定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则 (　　)
A．f(3)<f(－2)<f(1) B．f(1)<f(－2)<f(3)
C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(－2)
解析　由题意知f(x)为偶函数，所以f(－2)＝f(2)，
又x∈[0，＋∞)时，f(x)为减函数，且3>2>1，
∴f(3)<f(2)<f(1)，即f(3)<f(－2)<f(1)，故选A.
答案　A
3．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于 (　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
解析　由题意知：f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2， ①
f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4， ②
①＋②得g(1)＝3.
答案　B
4．(2022·辽宁统一检测)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若f(lg x)＜0，则x的取值范围是 (　　)
A．(0，1) B．(1，10)
C．(1，＋∞) D．(10，＋∞)
解析　依题意，函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0，不等式f(lg x)＜0＝f(0)等价于lg x＜0，故0＜x＜1，故选A.
答案　A
5．(2022·山东卷)对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是
(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2
C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)
解析　由f(x)＝f(2a－x)，
∴y＝f(x)关于直线x＝a对称(a≠0)，
题中四个函数中，存在对称轴的有B，D，而B中f(x)＝x2的对称轴为x＝0，不满足题意，故选D.
答案　D
二、填空题
6．函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝＋1，则当x＜0时，f(x)＝________．
解析　∵f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝＋1，
∴当x＜0时，－x＞0，
f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，
即x＜0时，f(x)＝－(＋1)＝－－1.
答案　－－1
7．(2022·湖南卷)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________．
解析　由题意知，f(x)的定义域为R，
所以f(－1)＝f(1)，
从而有ln(e3＋1)＋a＝ln(e－3＋1)－a，
解得a＝－.
答案　－
8．(2022·四川卷)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f ＝________．
解析　∵f(x)的周期为2，
∴f ＝f ，
又∵当－1≤x＜0时，
f(x)＝－4x2＋2
∴f ＝f ＝－4×＋2＝1.
答案　1
三、解答题
9．f(x)为R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式．
解　当x＜0时，－x＞0，则
f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.
由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，
所以当x＜0时，f(x)＝2x2＋3x－1.
由于f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0.
综上可得f(x)的解析式为
f(x)＝
10．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014)．
(1)证明　∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)解　∵x∈[2，4]，
∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0，2]，
∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8，
又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4]．
(3)解　∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)
＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝0.
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014)＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.
力气提升题组
(建议用时：25分钟)
11．(2022·石家庄模拟)已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)＝，则实数a的取值范围为 (　　)
A．(－1，4) B．(－2，1)
C．(－1，2) D．(－1，0)
解析　由于函数f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，所以f(5)＝f(－1)＝f(1)，即＜1，化简得(a－4)(a＋1)＜0，解得－1＜a＜4，故选A.
答案　A
12．(2021·沈阳模拟)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
解析　由于当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，所以f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝0.故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为7.
答案　B
13．已知函数y＝f(x)为奇函数，且对定义域内的任意x都有f(1＋x)＝－f(1－x)．当x∈(2，3)时，f(x)＝log2(x－1)．给出以下4个结论：
①函数y＝f(x)的图象关于点(k，0)(k∈Z)成中心对称；
②函数y＝|f(x)|是以2为周期的周期函数；
③当x∈(－1，0)时，f(x)＝－log2(1－x)；
④函数y＝f(|x|)在(k，k＋1)(k∈Z)上单调递增．
其中全部正确结论的序号为________．
解析　由于f(2＋x)＝－f(1－(1＋x))＝－f(－x)＝f(x)，所以f(x)的周期为2，
由于f(x)为奇函数，其图象关于点(0，0)对称，
所以f(x)的图象也关于点(2，0)对称，先作出函数f(x)在(2，3)上的图象，然后作出在(1，2)上的图象，左右平移即可得到f(x)的草图如图所示，由图象可知f(x)关于点(k，0)(k∈Z)对称，故①正确；
由y＝|f(x)|的图象可知y＝|f(x)|的周期为2，故②正确；
当－1＜x＜0时，2＜2－x＜3，f(2－x)＝log2(1－x)＝－f(x)，即f(x)＝
－log2(1－x)，故③正确；
y＝f(|x|)在(－1，0)上为减函数，故④错误．
答案　①②③
14．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；
(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调区间．
解　(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝
－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，
得：f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．

当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，
则S＝4S△OAB＝4×＝4.
(3)函数f(x)的单调递增区间为[4k－1，4k＋1](k∈Z)，
单调递减区间为[4k＋1，4k＋3](k∈Z)．