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第三章 3.2 3.2.2
基础巩固
一、选择题
1．一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系图象如图，则t＝2时，汽车已行驶的路程为( )
A．100 km B．125 km
C．150 km D．225 km
[答案] C
[解析] t＝2时，汽车行驶的路程为：s＝50×0.5＋75×1＋100×0.5＝25＋75＋50＝150 km，故选C.
2．某公司聘请员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A．15 B．40
C．25 D．130
[答案] C
[解析] 令y＝60，若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意：若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意，故拟录用人数为25，故选C.
3．某林场方案第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( )
A．14400亩 B．172800亩
C．20736亩 D．17280亩
[答案] D
[解析] 设年份为x，造林亩数为y，则y＝10000×(1＋20%)x－1，∴x＝4时，y＝17280，故选D.
4．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发觉，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为( )
A．30元 B．42元
C．54元 D．越高越好
[答案] B
[解析] 设当每件商品的售价为x元时，每天获得的销售利润为y元．
由题意得，y＝m(x－30)＝(x－30)(162－3x)．
上式配方得y＝－3(x－42)2＋432.
∴当x＝42时，利润最大，故选B.
5．今有一组试验数据如下表所示：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
u
1.5
4.04
7.5
12
18.01
则能体现这些数据关系的函数模型是( )
A．u＝log2t B．u＝2t－2
C．u＝ D．u＝2t－2
[答案] C
[解析] 可以先画出散点图，并利用散点图直观地生疏变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．散点图如图所示．
由散点图可知，图象不是直线，排解选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排解选项A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，排解B项，故选C.
6．一天，亮亮发烧了，早晨6时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午12时亮亮的体温基本正常，但是下午18时他的体温又开头上升，直到半夜24时亮亮才感觉身上不那么发烫了．则下列各图能基本上反映出亮亮一天(0～24时)体温的变化状况的是( )
[答案] C
[解析] 从0时到6时，体温上升，图象是上升的，排解选项A；从6时到12时，体温下降，图象是下降的，排解选项B；从12时到18时，体温上升，图象是上升的，排解选项D.
二、填空题
7．(2021·河北唐山一中期中试题)某药品经过两次降价，每瓶的零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率相同，设为x，则求两次降价的百分率列出的方程为________．
[答案] 100(1－x)2＝81
[解析] 由于两次降价的百分率相同，故列出的方程为100(1－x)2＝81.
8．(2021·徐州高一检测)用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg2≈0.3010)．
[答案] 4
[解析] 设至少要洗x次，则(1－)x≤，
∴x≥≈3.322，所以需4次．
三、解答题
9．某地西红柿从2月1日起开头上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t
50
110
250
种植成本Q
150
108
150
(1)依据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
[解析] (1)由供应的数据知道，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不行能是常数函数，从而用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·logbt中的任意一个进行描述时都应有a≠0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所供应的数据不吻合．所以，选取二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．
以表格所供应的三组数据分别代入Q＝at2＋bt＋c得到，解得
所以，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝t2－t＋.
(2)当t＝－＝150天时，西红柿种植成本最低为Q＝·1502－·150＋＝100 (元/102kg)．
10．某企业生产A，B两种产品，依据市场调查与猜想，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．
(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．
①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？
②问：假如你是厂长，怎样支配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
[解析] (1)设A，B两种产品分别投资x万元，x≥0，所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元．
由题意可设f(x)＝k1x，g(x)＝k2.
依据图象可解得f(x)＝0.25x(x≥0)．
g(x)＝2(x≥0)．
(2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2＝6.∴总利润y＝8.25万元．
②设B产品投入x万元，A产品投入(18－x)万元，该企业可获总利润为y万元．
则y＝(18－x)＋2，0≤x≤18.
令＝t，t∈[0,3]，
则y＝(－t2＋8t＋18)＝－(t－4)2＋.
∴当t＝4时，ymax＝＝8.5，此时x＝16,18－x＝2.
∴当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元．
力气提升
一、选择题
1．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度均加速开走，那么( )
A．人可在7秒内追上汽车
B．人可在10秒内追上汽车
C．人追不上汽车，其间距最少为5米
D．人追不上汽车，其间距最少为7米
[答案] D
[解析] 设汽车经过t秒行驶的路程为s米，则s＝t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7，当t＝6时，d取得最小值为7，故选D.
2．随着我国经济不断进展，人均GDP(国内生产总值)呈高速增长趋势．已知2008年年底我国人均GDP为22640元，假如今后年平均增长率为9%，那么2022年年底我国人均GDP为( )
A．22640×1.0912元 B．22640×1.0913元
C．22640×(1＋0.0912)元 D．22640×(1＋0.0913)元
[答案] A
[解析] 由于2008年年底人均GDP为22640元，由2008年年底到2022年年底共12年，故2022年年底我国人均GDP为22640×1.0912元．
3．依据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是( )
A．75,25 B．75,16
C．60,25 D．60,16
[答案] D
[解析] 由题意知，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60.将c＝60代入＝15，得A＝16.
4．一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，假如水深h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的图象大致是( )
[答案] D
[解析] 水深h越大，水的体积V就越大，故函数V＝f(h)是递增函数，一开头增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的，曲线斜率是先增大后变小的，故选D.
二、填空题
5．某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N＝N0e－λt，其中N0，λ是正的常数．由放射性元素的这种性质，可以制造出高精度的时钟，用原子数N表示时间t为________．
[答案] t＝－ln
[解析] N＝N0e－λt⇒＝e－λt⇒－λt＝ln⇒t＝－ln.
6．(2021·湖南十校联考)如下图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象，依据图象填空：
(1)通适2分钟，需付电话费________元；
(2)通话5分钟，需付电话费________元；
(3)假如t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为________．
[答案] (1)3.6 (2)6 (3)y＝1.2t(t≥3)
[解析] (1)由图象可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．
(2)由图象可知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元．
(3)当t≥3时，y关于t的图象是一条直线，且经过(3，3.6)和(5,6)两点，故设函数关系式为y＝kt＋b，
则解得
故电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为y＝1.2t(t≥3)．
三、解答题
7．(2021·河北石家庄期末)大气污染已经成为影响群众身体健康的重要因素，治理大气污染成为各钢铁企业的首要任务，其中某钢铁厂在处理工业废气的过程中，每经过一次处理可将有害气体削减20%，那么要让有害气体削减到原来的5%，求至少要经过几次处理？参考数据：lg2≈0.3010.
[解析] 设工业废气在未处理前为a，经过x次处理后变为y，则y＝a(1－20%)x＝a(80%)x.
由题意得＝5%，
即(80%)x＝5%，两边同时取以10为底的对数得xlg0.8＝lg0.05，即x＝≈13.4.
因而需要14次处理才能使工业废气中的有害气体削减到原来的5%.
8．2021年，某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经受了从亏损到盈利的过程，右面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系)．依据图象供应的信息解答下列问题：
(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润S(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；
(2)求截止到第几月末公司累积利润可达到30万元；
(3)求第八个月公司所获利润是多少万元？
[解析] (1)由二次函数图象可知，设S与t的函数关系式为S＝at2＋bt＋c(a≠0)．
由题意，得或
或
无论哪个均可解得a＝，b＝－2，c＝0；
∴所求函数关系式为S＝t2－2t.
(2)把S＝30代入，得30＝t2－2t，
解得t1＝10，t2＝－6(舍去)，
∴截止到第十个月末公司累积利润可达到30万元．
(3)第八个月公司所获利润为
×82－2×8－×72＋2×7＝5.5，
∴第八个月公司所获利润为5.5万元．
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