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第三章 3.3
一、选择题
1．下列命题中正确的是( )
A．幂函数的图象不经过点(－1,1)
B．幂函数的图象都经过点(0,0)和点(1,1)
C．若幂函数f(x)＝xa是奇函数，则f(x)是定义域上的增函数
D．幂函数的图象不行能毁灭在第四象限
[答案] D
[解析]幂函数y＝x2经过点(－1,1)，排解A；幂函数y＝x－1不经过点(0,0)，排解B；幂函数y＝x－1是奇函数，但它在定义域上不具有单调性，排解C，故选D．
2．函数y＝(k2－k－5)x2是幂函数，则实数k的值是( )
A．k＝3 B．k＝－2
C．k＝3或k＝－2 D．k≠3且k≠－2
[答案] C
[解析] 由幂函数的定义知k2－k－5＝1，即k2－k－6＝0，解得k＝3或k＝－2.
3．(2022～2021学年度江西鹰潭一中高一上学期月考)已知幂函数f(x)＝kxα的图象过点，则k－α＝( )
A． B．1
C． D．2
[答案] C
[解析] 由题意得k＝1，∴f(x)＝xα，∴＝α，
∴2＝2－α，∴α＝－，∴k－α＝.
4．(2022～2021学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)已知幂函数y＝(m2－5m－5)x2m＋1在(0，＋∞)上单调递减，则实数m＝( )
A．1 B．－1
C．6 D．－1或6
[答案] B
[解析] 由题意得，解得m＝－1.
5．函数y＝|x|的图象大致为( )
[答案] C
[解析] y＝|x|＝＝，
函数y＝|x|为偶函数，其图象关于y轴对称，排解A、B，又函数y＝|x|的图象向上凸，排解D，故选C．
6．如图曲线是幂函数y＝xn在第一象限内的图象，已知n取±2，±四个值，相应于曲线C1、C2、C3、C4的n依次为( )
A．－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2,2， D．2，，－2，－
[答案] B
[解析] 依据幂函数性质，C1、C2在第一象限内为增函数，C3、C4在第一象限内为减函数，因此排解A、C．又C1曲线下凸，所以C1、C2中n分别为2、，然后取特殊值，令x＝2,2－>2－2，∴C3、C4中n分别取－、－2，故选B．
二、填空题
7．(2022～2021学年度浙江舟山中学高一上学期期中测试)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2,8)，则f(x)＝______________.
[答案] x3
[解析] 设f(x)＝xα，∴8＝2α，∴α＝3.∴f(x)＝x3.
8．若函数f(x)＝(2m＋3)xm2－3是幂函数，则m的值为________．
[答案] －1
[解析] 由幂函数的定义可得，2m＋3＝1，
即m＝－1.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是
(1)正比例函数；
(2)反比例函数；
(3)二次函数；
(4)幂函数．
[解析] (1)若f(x)为正比例函数，则
，解得m＝1.
(2)若f(x)为反比例函数，则，
解得m＝－1.
(3)若f(x)为二次函数，则，
解得m＝.
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
解得m＝－1±.
10．已知函数f(x)＝，g(x)＝.
(1)证明f(x)是奇函数，并求函数f(x)的单调区间；
(2)分别计算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)g(3)的值，由此概括出f(x)和g(x)对全部不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明．
[解析] (1)∵函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∴定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝
＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
在(0，＋∞)上任取x1，x2，且x1<x2，
则x1<x2，x2－<x1－，从而
∴在(0，＋∞)上是增函数．
又∵f(x)是奇函数，
∴函数f(x)在(－∞，0)上也是增函数．
故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．
(2)f(4)－5f(2)g(2)＝－5××＝0；
f(9)－5f(3)g(3)＝－5××＝0.
由此可推想出一个等式f(x2)－5f(x)g(x)＝0(x≠0)．
证明如下：
f(x2)－5f(x)g(x)＝－5××
＝－＝0，
故f(x2)－5f(x)g(x)＝0成立.
一、选择题
1．下列关系中正确的是( )
A．()<()<() B．()<()<()
C．()<()<() D．()<()<()
[答案] D
[解析] ∵y＝x在(0，＋∞)上是增函数，
且＜＜，∴()＜()＜()，
即()＜()＜().
2．如图所示为幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( )
A．－1＜n＜0＜m＜1 B．n＜0＜m＜1
C．－1＜n＜0，m＜1 D．n＜－1，m＞1
[答案] B
[解析] 由幂函数图象的性质知n＜0,0＜m＜1.
3．函数y＝x3与函数y＝x的图象( )
A．关于原点对称 B．关于x轴对称
C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称
[答案] D
[解析] y＝x3与y＝x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称，故选D．
4．设函数y＝ax－2－(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在幂函数y＝xα的图象上，则该幂函数的单调递减区间是( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)，(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)
[答案] C
[解析] 函数y＝ax－2－(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A(2，)，又点A(2，)在幂函数y＝xα的图象上，∴＝2α，∴α＝－1.∴幂函数y＝x－1，
其单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．
二、填空题
5．若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不过原点，则m是__________．
[答案] 1或2
[解析] 由题意得，
解得m＝1或m＝2.
6．假如幂函数y＝xa的图象，当0<x<1时，在直线y＝x的上方，那么a的取值范围是________．
[答案] a<1
[解析] 分a>1，a＝1,0<a<1，a<0分别作图观看，知a<1.
三、解答题
7．已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象与x、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求出m的值，并画出它的图象．
[解析] 由已知，得m2－2m－3≤0，∴－1≤m≤3.
又∵m∈Z，∴m＝－1,0,1,2,3.
当m＝0或m＝2时，y＝x－3为奇函数，其图象不关于y轴对称，不合题意；
当m＝－1，或m＝3时，有y＝x0，适合题意；
当m＝1时，y＝x－4，适合题意．
∴所求m的值为－1,3或1.
画出函数y＝x0及y＝x－4的图象，
函数y＝x0的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，其图象是除点(0,1)外的一条直线，故取点A(－1,1)，B(1,1)，过A，B作直线(除去(0,1)点)即为所求．如图①所示．
函数y＝x－4的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，列出x，y的对应值表：
x
…
－2
－1
－
－
1
2
…
y
…
1
16
81
81
16
1
…
描出各点，连线，可得此函数的图象如图②所示．
8．定义函数f(x)＝max{x2，x－2}，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，求f(x)的最小值．
[解析] ∵f(x)＝max{x2，x－2}，
x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∴f(x)总是取x2和x－2中最大的一个值．
令x2>x－2，得x2>1，∴x>1或x<－1.
令x2≤x－2，得－1≤x≤1且x≠0，
∴f(x)＝
函数f(x)的图象如图所示：
由图可知， f(x)在x＝－1与x＝1时取最小值1.
∴函数f(x)的最小值为1.
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