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第三章 3.1 3.1.2
基础巩固
一、选择题
1．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不行能求出的零点是( )
A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
[答案] C
2．在用二分法求函数f(x)在区间(a，b)上的唯一零点x0的过程中，取区间(a，b)上的中点c＝，若f(c)＝0，则函数f(x)在区间(a，b)上的唯一零点x0( )
A．在区间(a，c)内
B．在区间(c，b)内
C．在区间(a，c)或(c，d)内
D．等于
[答案] D
3．已知函数y＝f(x)的图象是连续不间断的，x，f(x)对应值表如下：
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
12.04
13.89
－7.67
10.89
－34.76
－44.67
则函数y＝f(x)存在零点的区间有( )
A．区间[1,2]和[2,3] B．区间[2,3]和[3,4]
C．区间[2,3]和[3,4]和[4,5] D．区间[3,4]和[4,5]和[5,6]
[答案] C
4．某方程在区间(2,4)内有一实根，若用二分法求此根的近似值，将此区间分( )次后，所得近似值的精确度可达到0.1( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] D
[解析] 等分1次，区间长度为1，等分2次，区间长度变为0.5，…，等分4次，区间长度变为0.125，等分5次，区间长度为0.0625<0.1，符合题意，故选D.
5．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|＜ε(ε为精确度)时，函数零点近似值x0＝与真实零点的误差最大不超过( )
A. B.
C．ε D．2ε
[答案] B
[解析] 真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b－＝－a＝＝，因此误差最大不超过.
6．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点四周的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.4375)＝0.162
f(1.46025)＝－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0.1)为( )
A．1.2 B．1.3
C．1.4 D．1.5
[答案] C
[解析] 依据题意，∵f(1.4375)＝0.162，且f(1.40625)＝－0.054，∴方程的一个近似解为1.4，故选C.
二、填空题
7．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________.(填区间)
[答案] (2,3)
[解析] 由于f(2)·f(4)<0，f(2)·f(3)<0，所以f(3)·f(4)>0，故x0∈(2,3)．
8．(2021·山东肥城其次次联考)某同学在借助计算器求“方程lgx＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lgx＋x－2，算得f(1)＜0，f(2)＞0；在后边过程中，他又用“二分法”取了四个x的值，计算了其函数值的正负，并得出推断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的四个值依次是________．
[答案] 1.5,1.75,1.875,1.8125
[解析] 第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，其次次得区间(1.75,2)，第三次得区间(17.5,1.875)，第四次得区间(1.75,1.8125)．
三、解答题
9．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，假如用“二分法”求这个零点(精确度0.01)的近似值，求区间(0,0.1)等分的至少次数．
[解析] 依题意＜0.01，得2n＞10.故n的最小值为4.
10．用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1)．
[分析] (1)转化为用二分法求函数f(x)＝2x3＋3x－3的正的零点，故首先要选定初始区间[a，b]，满足f(a)·f(b)＜0，然后逐步靠近．
(2)对于正实数所在的区间(a，b)，满足b－a＜0.1.
[解析] 令f(x)＝2x3＋3x－3，
经计算，f(0)＝－3＜0，f(1)＝2＞0.
f(0)·f(1)＜0，
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，
即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解．
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)＜0.
又由于f(1)＞0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．
如此连续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
(a，b)
中点c
f(a)
f(b)
f()
(0,1)
0.5
f(0)＜0
f(1)＞0
f(0.5)＜0
(0.5,1)
0.75
f(0.5)＜0
f(1)＞0
f(0.75)＞0
(0.5,0.75)
0.625
f(0.5)＜0
f(0.75)＞0
f(0.625)＜0
(0.625，0.75)
0.6875
f(0.625)＜0
f(0.75)＞0
f(0.6875)＜0
(0.6875，0.75)
|0.6875－0.75|＝0.0625＜0.1
由于|0.6875－0.75|＝0.0625＜0.1，
所以0.75可作为方程的一个正实数近似解．
力气提升
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)的图象如下图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A．4,4 B．3,4
C．5,4 D．4,3
[答案] D
[解析] 题中图象与x轴有4个交点，所以解的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3，故选D.
2．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似值的是( )
①y＝3x2－2x＋5；②y＝；③y＝＋1，x∈(－∞，0)；④y＝x3－2x＋3；⑤y＝x2＋4x＋8.
A．①③ B．②⑤
C．⑤ D．①④
[答案] C
[解析] 二分法只适用于在给定区间上图象连续不间断的函数变号零点的近似值的求解．题中函数①无零点，函数②③④都有变号零点，函数⑤有不变号零点－4，故不能用二分法求零点近似值，故选C.
3．若函数f(x)唯一的零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)，(0,2)内，那么下列命题正确的是( )
A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点
B．函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点
C．函数f(x)在区间[2,16)上无零点
D．函数f(x)在区间(1,16)内无零点
[答案] C
[解析] 在(0,2)内有唯一零点，故在[2,16)上无零点．
4．已知f(x)的一个零点x0∈(2,3)，用二分法求精确度为0.01的x0近似值时，推断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
[答案] B
[解析] 函数f(x)的零点所在区间的长度是1，用二分法经过7次分割后区间的长度变为＜0.01，故选B.
二、填空题
5．已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下的对应值表：
x
－2
－1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
f(x)
－136
－21
6
19
13
－1
－8
－2
4
29
98
则下列推断正确的是________．
①函数f(x)在区间(－1,0)内有零点；②函数f(x)在区间(2,3)内有零点；③函数f(x)在区间(5,6)内有零点；④函数f(x)在区间(－1,7)内有三个零点．
[答案] ①②③
[解析] f(－1)·f(0)＜0，f(2)·f(3)＜0，f(5)·f(6)＜0，又f(x)的图象连续不断，所以函数f(x)在(－1,0)，(2,3)，(5,6)三个区间上均有零点，但不能断定有几个零点，故①②③正确，④不正确．
6．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：
x
－1.6
－1.4
－1.2
－1
－0.8
－0.6
－0.4
－0.2
0
…
y＝2x
0.3298
0.3789
0.4352
0.5
0.5743
0.6597
0.7578
0.8705
1
…
y＝x2
2.56
1.96
1.44
1
0.64
0.36
0.16
0.04
0
…
若方程2x＝x2有一个根位于区间(a，a＋0.4)(a在表格中第一栏里的数据中取值)，则a的值为________．
[答案] －1或－0.8
[解析] 令f(x)＝2x－x2，由表中的数据可得f(－1)＜0，f(－0.6)＞0；f(－0.8)＜0，f(－0.4)＞0，
∴根在区间(－1，－0.6)与(－0.8，－0.4)内，
∴a＝－1或a＝－0.8.
三、解答题
7．某消遣节目有一个给选手在限定时间内猜一物品的售价的环节，某次猜一品牌手机的价格，手机价格在500～1000元，选手开头报价1000元，主持人回答高了；紧接着报900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上体现了“靠近”的思想，试设计出可行的猜价方案．
[解析] 取价格区间[500,1000]的中点750，低了；就再取[750,1000]的中点875，高了；就取[750,875]的中点，遇到小数，则取整数，照此猜下去可以猜价：750,875,812,843,859,851，经过6次即能猜中价格．
8．利用二分法求的一个近似值(精确度0.01)．
[解析] 令f(x)＝x2－3，由于f(1)＝－2＜0，f(2)＝1＞0，所以函数在区间(1,2)内存在零点x0，即为，取区间(1,2)为二分法计算的初始区间，列表如下：
(a，b)
(a，b)的中点
f(a)
f(b)
f()
(1,2)
1.5
f(1)＜0
f(2)＞0
f(1.5)＜0
(1.5,2)
1.75
f(1.5)＜0
f(2)＞0
f(1.75)＞0
(1.5,1.75)
1.625
f(1.5)＜0
f(1.75)＞0
f(1.65)＜0
(1.625，1.75)
1.6875
f(1.625)＜0
f(1.75)＞0
f(1.6875)＜0
(1.6875，1.75)
1.71875
f(1.6875)＜0
f(1.75)＞0
f(1.71875)＜0
(1.71875，1.75)
1.734375
f(1.71875)＜0
f(1.75)＞0
f(1.734375)＞0
(1.71875，1.734375)
1.7265625
f(1.71875)＜0
f(1.734375)＞0
f(1.7265625)＜0
由于1.734375－1.7265625＝0.0078125＜0.01，所以可取1.734375为的一个近似值．
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