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第三章 3.4
一、选择题
1．某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则下列结论中正确的是( )
A．x>22% B．x<22%
C．x＝22% D．x的大小由第一年产量确定
[答案] B
[解析] 由题意设第一年产量为a，则第三年产量为a(1＋44%)＝a(1＋x)2，∴x＝0.2.故选B．
2．某种细菌在培育过程中，每15 min分裂一次(由1个分裂成2个)，则这种细菌由1个繁殖成212个需经过( )
A．12 h B．4 h
C．3 h D．2 h
[答案] C
[解析] 细菌的个数y与分裂次数x的函数关系为y＝2x，令2x＝212，解得x＝12，又每15 min分裂一次，所以共需15×12＝180 min，即3 h.
3．某山区为加强环境疼惜，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x年，绿色植被面积可以增长为原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
[答案] D
[解析] 本题考查指数函数的解析式与图象．设山区第一年绿色植被面积为a，则y＝＝(1＋10.4%)x，故选D．
4．已知光线每通过一块玻璃板，光线的强度就失掉10%，要使通过玻璃板的光线的强度减弱到原来强度的以下，则至少需要重叠玻璃板数为( )
A．8块 B．9块
C．10块 D．11块
[答案] D
[解析] 设至少需要重叠玻璃板数为n，
由题意，得(1－10%)n≤，解得n≥11.
5．某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场销售发生变化，A产品连续两次提价20%，B产品连续两次降价20%，结果都以23.04元出售，此时厂家同时出售A、B产品各1件，盈亏状况是( )
A．不亏不赚 B．亏5.92元
C．赚5.92元 D．赚28.96元
[答案] B
[解析] 设A产品的原价为a元，B产品的原价为b元，则
a(1＋20%)2＝23.04，求得a＝16；
b(1－20%)2＝23.04，求得b＝36.
则a＋b＝52元，而23.04×2＝46.08元．
故亏52－46.08＝5.92(元)．故选B．
6．某企业的产品成本前两年平均每年递增20%，经过改进技术，后两年的产品成本平均每年递减20%，那么该企业的产品成本现在与原来相比( )
A．不增不减 B．约增8%
C．约增5% D．约减8%
[答案] D
[解析] 设原来成本为a，则现在的成本为a(1＋20%)2(1－20%)2＝0.921 6a，比原来约减8%.
二、填空题
7．某商品的市场需求量y1(万件)、市场供应量y2(万件)与市场价格x(元/件)分别近似地满足关系：y1＝－x＋70，y2＝2x－20.y1＝y2时的市场价格称为市场平衡价格，则市场平衡价格为________元/件．
[答案] 30
[解析] 由题意，知y1＝y2，∴－x＋70＝2x－20，
∴x＝30.
8．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象如图所示．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：
①此指数函数的底数为2；
②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m2；
③野生水葫芦从4 m2集中到12 m2只需1.5个月；
④设野生水葫芦集中至2 m2、3 m2、6 m2所需的时间分别为t1、t2、t3，则有t1＋t2＝t3；
⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间集中的平均速度等于在第2到第4个月之间集中的平均速度．
其中，正确的是________．(填序号)．
[答案] ①②④
[解析] ∵关系为指数函数，∴可设y＝ax(a>0且a≠1)．由图可知2＝a1.∴a＝2，即底数为2，∴说法①正确；∵25＝32>30，∴说法②正确；∵指数函数增加速度越来越快，∴说法③不正确；t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴t1＋t2＝t3.∴说法④正确；∵指数函数增加速度越来越快，∴说法⑤不正确．故正确的有①②④.
三、解答题
9．某乡镇目前人均一年占有粮食360 kg，假如该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后人均一年占有y kg粮食，求函数y关于x的解析式．
[解析] 设该乡镇目前人口量为M，则该乡镇目前一年的粮食总产量为360M.
经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)，人口总量为M(1＋1.2%)，
则人均占有粮食为；
经过2年后，人均占有粮食为；
……
经过x年后，人均占有粮食为y＝
＝360()x＝360()x.
即所求函数解析式为y＝360()x.
10．对于5年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%.树木成材后，即可出售，然后重新栽树木；也可以让其连续生长．问：哪一种方案可获得较大的木材量(注：只需考虑10年的情形)?
[解析] 设新树苗的木材量为Q，则10年后有两种结果：
连续生长10年，木材量N＝Q(1＋18%)5(1＋10%)5；
生长5年后重新栽树木，木材量M＝2Q(1＋18%)5.
则＝.
∵(1＋10%)5≈1.61<2，∴>1，即M>N.
因此，生长5年后重新栽树木可获得较大的木材量.
一、选择题
1．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪掩盖面积在最近50年内削减了5%，假如按此速度，设2010年的冬季冰雪掩盖面积为m，从2010年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪掩盖面积y与x的函数关系式是 ( )
A．y＝0.95·m B．y＝(1－0.05)·m
C．y＝0.9550－x·m D．y＝(1－0.0550－x)·m
[答案] A
[解析] 设每年削减的百分比为a，由在50年内削减5%，得(1－a)50＝1－5%＝95%，即a＝1－(95%).
所以，经过x年后，y与x的函数关系式为
y＝m·(1－a)x＝m·(95%)＝(0.95)·m.
2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物．已知该动物繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100，则到第7年它们的数量为( )
A．300 B．400
C．600 D．700
[答案] A
[解析] 将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)中，得100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，则y＝100log2(x＋1)，所以当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300，故选A．
3．某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2 000元降到1 280元，则这种手机平均每次降价的百分率是( )
A．10% B．15%
C．18% D．20%
[答案] D
[解析] 设平均每次降价的百分率为x，则2 000(1－x)2＝1 280，所以x＝20%，故选D．读懂题意正确建立函数模型，求解可得．
4．抽气机每次可抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽(参考数据：lg2≈0.301 0)( )
A．6次 B．7次
C．8次 D．9次
[答案] C
[解析] 本题考查对数函数的应用．设至少抽x次可使容器内的空气少于原来的0.1%，则(1－60%)x<0.1%，即0.4x<0.001，∴xlg0.4<－3，∴x>＝≈7.5，故选C．
二、填空题
5．如图，由桶1向桶2输水，开头时，桶1有a L水，t min后，剩余水y L满足函数关系y＝ae－nt，那么桶2的水就是y＝a－ae－nt.假设经过5 min，桶1和桶2的水相等，则再过____min，桶1中的水只有L.
[答案] 10
[解析] 由题意可得，经过5 min时，ae－5n＝，n＝ ln2，那么ae－tln2＝，所以t＝15，从而再经过10 min后，桶1中的水只有L
6．一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，方案使成本平均每年比上一年降低p%，则成本y随经过的年数x变化的函数关系为________．
[答案] y＝a(1－p%)x(x∈N*，且x≤m)
[解析] 成本经过x年降低到y元，则
y＝a(1－p%)x(x∈N*，且x≤m)．
三、解答题
7．地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝(lg E－11.4)．据报道中国青海玉树2010年4月14日发生地震的震级为7.1级．而2011年3月11日，日本发生9.0级地震，那么9.0级地震释放的能量是7.1级地震的多少倍(精确到1)?
[解析] 9.0级地震所释放的能量为E1,7.1级地震所释放的能量为E2，
由9.0＝(lg E1－11.4)，得lg E1＝×9.0＋11.4＝24.9.
同理可得lg E2＝×7.1＋11.4＝22.05，从而lg E1－lg E2＝24.9－22.05＝2.85，故lg E1－lg E2＝lg＝2.85，则＝102.85≈708，
即9.0级地震释放的能量是7.1级地震的708倍．
8．某个体经营者把开头六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：
投资A商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.65
1.39
1.85
2
1.84
1.40
投资B商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.25
0.49
0.76
1
1.26
1.51
该经营者预备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算．请你挂念确定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．
[解析] 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示：
观看散点图可以看出：A种商品的所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图①所示：
取(4,2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2.
把点(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，
解得a＝－0.15.所以y＝－0.15(x－4)2＋2.
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可用一次函数模型模拟，如图②所示：
设y＝kx＋b，取点(1,0.25)和(4,1)代入，
得，解得.所以y＝0.25x.
即前6个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y＝－0.15(x－4)2＋2；前6个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y＝0.25x.设下月投入A，B两种商品的资金分别为xA，xB(万元)，总利润为W(万元)，
则，
所以W＝－0.15(xA－)2＋0.15×()2＋2.6，
当xA＝≈3.2(万元)时，W取最大值，约为4.1万元．此时xB≈8.8(万元)．
即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品，可获得最大利润约为4.1万元．
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