【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：8.3.docx

第八章 8.3 第3课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1．室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线(　　)
A．异面　　　　B．相交　　　C．平行　　　　D．垂直
答案　D
解析　本题考查直线与直线的位置关系，无论尺子所在的直线与地面所在平面是相交、平行或是在平面内，在地面所在的平面总可以找到与尺子所在直线垂直的直线．故选D.
2．已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中假命题是(　　)
A．若α∥β，l⊂α，则l∥β
B．若α∥β，l⊥α，则l⊥β
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m
D．若α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β
答案　C
解析　对于选项C，直线l与m可能构成异面直线．故选C.
3．设有如下三个命题：
甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；
乙：直线l、m中至少有一条与平面β相交；
丙：平面α与平面β相交．
当甲成立时(　　)
A．乙是丙的充分而不必要条件
B．乙是丙的必要而不充分条件
C．乙是丙的充分且必要条件
D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件
答案　C
解析　当甲成立，即“相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“l、m中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交”成立；若“平面α与平面β相交”，则“l、m中至少有一条与平面β相交”也成立，故选C.
4．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是(　　)
A．若AC与BD共面，则AD与BC共面
B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线
C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC
D．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC
答案　D
解析　ABCD可能为平面四边形，也可能为空间四边形，D不成立．

5．右图是正方体的平面开放图，在这个正方体中，
①BM与ED平行；
②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60°角；
④DM与BN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是(　　)
A．①②③ B．②④
C．③④ D．②③④

答案　C
解析　如图，把正方体的平面开放图还原到原来的正方体，明显BM与ED为异面直线，故命题①不成立；而CN与BE平行，故命题②不成立；又四个选项中仅有选项C不含②，运用排解法，故应选C.
6．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为(　　)
A.　　　　 　B.
C. D.
答案　C
解析　连接BA1，则CD1∥BA1，于是∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成的角(或补角)，设AB＝1，则BE＝，BA1＝，A1E＝1，在△A1BE中，cos∠A1BE＝＝，选C.
7．已知直线m、n及平面α，其中m∥n，那么在平面α内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集．其中正确的是(　　)
A．(1)(2)(3) B．(1)(4)
C．(1)(2)( 4) D．(2)(4)
答案　C
解析　如图1，当直线m或直线n在平面α内时不行能有符合题意的点；如图2，直线m、n到已知平面α的距离相等且两直线所在平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的点；如图3，直线m、n所在平面与已知平面α平行，则符合题意的点为一条直线，从而选C.

8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线(　　)
A．不存在 B．有且只有两条
C．有且只有三条 D．有很多条
答案　D
9．如图所示，设地球半径为R，点A、B在赤道上，O为地心，点C在北纬30°的纬线(O′为其圆心)上，且点A、C、D、O′、O共面，点D、O′、O共线．若∠AOB＝90°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(　　)

A. B．－
C. D.
答案　A
解析　分别以OB、OA、OD所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O－xyz，易得A(0，R,0)，B(R,0,0)，C(0，R，R)，D(0,0，R)，＝(R，－R,0)，＝(0，－R，R)，
cos，＝＝＝，选A.
二、填空题
10．已知a、b是异面直线，下列命题：
①存在一个平面α，使a∥α，且b∥α；②存在一个平面α，使a⊥α且b⊥α；③存在一个平面α，使a⊂α，且b与α相交；④存在一个平面α，使a，b到平面α的距离相等．
其中正确命题是________．
答案　①③④
11．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则
①四边形BFD′E确定是平行四边形；
②四边形BFD′E可能是正方形；
③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影确定是正方形；
④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.
以上结论正确的为________．(写出全部正确结论的序号)
答案　①③④

解析　如图，由面面平行的性质可知：BE∥FD′，ED′∥BF，∴四边形BFD′E是平行四边形，∴①正确；它不行能是正方形，否则BE⊥平面A′ADD′，∴②错误；又∵四边形BFD′E在底面ABCD内的投影为四边形ABCD，∴它确定是正方形，∴③正确；
当E、F分别为所在棱的中点时，EF⊥平面BB′D，∴此时面BFDE′垂直于面BB′D.∴④正确．
12．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上全部正确答案的序号)

答案　(2)、(4)
解析　如题干图(1)中，直线GH∥MN，
因此GH与MN共面；
图(2)中，G、H、N三点共面，但M ∉平面GHN，
因此直线GH与MN异面；
图(3)中，连接MG，GM∥HN，
因此GH与MN共面；
图(4)中，G、M、N三点共面，但H∉平面GMN，
∴GH与MN异面．
所以图(2)、(4)中GH与MN异面．
三、解答题

13．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点．求异面直线A1E与GF所成角的大小．
解　连结B1G，EG，B1F，CF.
∵E、G是棱DD1、CC1的中点，∴A1B1∥EG.
∴四边形A1B1GE是平行四边形，∴B1G∥A1E.
所以∠B1GF(或其补角)就是异面直线A1E与GF所成的角．
在Rt△B1C1G中，B1C1＝AD＝1，C1G＝AA1＝1，∴B1G＝.
在Rt△FBC中，BC＝BF＝1，∴FC＝.
在Rt△FCG中，CF＝，CG＝1，∴FG＝.
在Rt△B1BF中，BF＝1，B1B＝2，∴B1F＝.
在△B1FG中，B1G2＋FG2＝B1F2，∴∠B1GF＝90°.
因此，异面直线A1E与GF所成的角为90°.
14.

如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．
求证：(1)E、C、D1、F四点共面；
(2)CE、D1F、DA三线共点．
证明　(1)如图，连结CD1、EF、A1B，

∵E、F分别是AB和AA1的中点，
∴EF∥A1B且EF＝A1B，
又∵A1D1綊BC，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1，
∴EF与CD1确定一个平面α，
∴E、F、C、D1∈α，即E、C、D1、F四点共面．
(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝CD1，
∴四边形CD1FE是梯形，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则P∈CE⊂平面ABCD，且P∈D1F⊂平面A1ADD1，
∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1，
又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，
∴P∈AD，∴CE、D1F、DA三线共点．
15.

如图所示，设A是BCD所在平面外一点，AD＝BC＝2cm， E、F分别是AB、CD的中点．
(1)若EF＝cm，求异面直线AD和BC所成的角；
(2)若EF＝cm，求异面直线AD和BC所成的角．
解　取AC的中点G，连结EG、FG.
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴EG∥BC且EG＝BC＝1cm，

FG∥AD且FG＝AD＝1cm
∴∠EGF即为所求异面直线的角或其补角．
(1)当EF＝cm时，由EF2＝EG2＋FG2，得∠EGF＝90°.
∴异面直线AD和BC所成的角为90°.
(2)当EF＝cm时，
在△EFG中，取EF的中点H，连结GH，
∵EG＝GF＝1cm，
∴GH⊥EF，EH＝FH＝cm，
∴GH＝＝cm
得∠GFH＝∠GEH＝30°，
∴∠FGE＝120°，其补角为60°.
∴ 异面直线AD和BC所成的角为60°.