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第三章测试
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．二次函数f(x)＝2x2＋bx－3(b∈R)的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．不确定
解析 方程2x2＋bx－3＝0的判别式Δ＝b2＋24>0恒成立，所以方程有两个不等实根，因而函数f(x)有两个零点．
答案 C
2．若函数y＝f(x)唯一的一个零点在区间(0,2)，(1,2)，(0,4)内，则下列命题中正确的是( )
A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点
B．函数f(x)在区间(1,1.5)内有零点
C．函数f(x)在区间(2,4)内无零点
D．函数f(x)在区间(1,4)内无零点
解析 可用排解法，由题意知在(0,1)内没有零点，所以A错．B不肯定，由于在(1,4)内肯定有零点，所以D错，故C正确．
答案 C
3．依据表中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间是( )
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
A.(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
答案 C
4．方程lnx＋2x－8＝0根的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析 利用图象作答．
答案 B
5．下列函数中，随着x的增大，其增大速度最快的是( )
A．y＝0.001ex B．y＝1000lnx
C．y＝x1000 D．y＝1000·2x
解析 增大速度最快的应为指数型函数，又e≈2.718>2.
答案 A
6．已知直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，直线x＝t截这个梯形位于此直线左方的图形的面积(如图中阴影部分)为y，则函数y＝f(t)的大致图象为图中的( )
解析 按一般方法求解，应先求出函数表达式，依据表达式确定图象，然而按小题小作的原则，不必求出解析式，观看图象不难发觉C正确，由于一开头面积增长较快，当1≤t≤2时，面积平均增长，图象为直线，只有C适合这种规律．
答案 C
7．已知函数f(x)＝ex－x2＋8x，则在下列区间中f(x)必有零点的是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析 f(x)＝ex－x2＋8x，f(－2)＝e－2－4－16<0，f(－1)＝e－1－1－8<0，f(0)＝e0＝1＞0，∴f(x)在区间(－1，0)内至少有一个零点，故选B.
答案 B
8．已知函数t＝－144lg的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中t(h)表示达到打字水平N(字/min)所需的学习时间，N表示打字速度(字/min)，则按此曲线要达到90字/min的水平，所需的学习时间是( )
A．144 h B．90 h
C．60 h D．40 h
解析 由N＝90可知，t＝－144lg＝144 h.
答案 A
9．在一次数学试验中，运用计算器采集到如下一组数据：
x
－2.0
－1.0
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近(其中，a，b为待定系数)( )
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx
C．y＝a＋logbx D．y＝a＋
解析 B为匀速递增，对C，x要求大于0，D是成反比，又由于函数值增长速度越来越快，只有A项中指数型函数最接近．
答案 A
10．实数a，b，c是图象连续不断的函数y＝f(x)定义域中的三个数，且满足a<b<c，f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，c)上的零点个数为( )
A．2 B．奇数
C．偶数 D．至少是2
解析 画出示意图．
可知，至少有2个零点，应选D.
答案 D
11．某方程在区间D＝(2,4)内有一无理根，若用二分法求此根的近似值，要使所得近似值的精确度达到0.1，则应将D分( )
A．2次 B．3次
C．4次 D．5次
解析 等分1次，区间长度为1，等分2次区间长度为0.5，…，等分4次，区间长度为0.125，等分5次，区间长度为0.0625<0.1，符合题意．故选D.
答案 D
12．西南大旱，为了爱护水资源，提倡节省用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”．计算方法如下表：
每户每月用水量
水价
不超过12m3的部分
3元/m3
超过12 m3但不超过18 m3的部分
6元/m3
超过18 m3的部分
9元/m3
若某户居民本月交纳的水费为48元，则此户居民本月用水量( )
A．比12 m3少
B．比12 m3多，但不超过18 m3
C．比18 m3多
D．恰为12 m3
答案 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．为了爱护同学的视力，课桌椅的高度都是按肯定的关系配套设计的，争辩表明：假设课桌的高度为y cm，椅子的高度为x cm，则y应是x的一次函数．下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：
第一套
其次套
椅子高度x(cm)
40.0
37.0
课桌高度y(cm)
75.0
70.2
则y与x的函数关系为________．(不需注明定义域)．
解析 依题意，由于课桌高度y是椅子高度x的一次函数，故可设y＝ax＋b(a≠0)，将给出的符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数关系式，
得
解得
所以y与x的函数关系式是y＝1.6x＋11.
答案 y＝1.6x＋11
14．用二分法求方程x3＋4＝6x2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．
解析 设f(x)＝x3－6x2＋4，
明显f(0)>0，f(1)<0，
又f＝3－6×2＋4>0，
∴下一步可断定方程的根所在的区间为.
答案
15．函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，则函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．
解析 ∵f(x)＝ax＋b有一个零点是2，∴2a＋b＝0.而g(x)＝bx2－ax＝x(bx－a)＝0，∴x＝0，或x＝＝－.
答案 0，－
16．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示．令f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则下列关于f(x)＝0的解叙述正确的是________．
①有三个实根；②x>1时恰有一实根；③当0<x<1时恰有一实根；④当－1<x<0时恰有一实根；⑤当x<－1时恰有一实根．
解析 f(x)的图象是将函数y＝x(x－1)(x＋1)的图象向上平移0.01个单位得到的，故f(x)的图象与x轴有三个交点，它们分别在区间(－∞，－1)，和内，故只有①⑤正确．
答案 ①⑤
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x＝2，且f(x)的两个零点的平方和为10，求f(x)的解析式．
解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由题意知，c＝3，－＝2.
设x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝.
∵x＋x＝10，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝10，即
2－＝10，∴(－4)2－＝10，
∴a＝1，b＝－4.
∴f(x)＝x2－4x＋3.
18．(本小题满分12分)A、B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市平安．核电站与城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．
(1)求x的范围；
(2)把月供电总费用y表示成x的函数；
(3)核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小．
解 (1)x的取值范围为10≤x≤90；
(2)y＝0.25×20x2＋0.25×10(100－x2)
＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)；
(3)由y＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25000＝2＋.
则当x＝ km时，y最小．
故当核电站建在距A城 km时，才能使供电费用最小．
19．(本小题满分12分)某公司制定了一个激励销售人员的嘉奖方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行嘉奖；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行嘉奖，没超出部分仍按销售利润的10%进行嘉奖．记资金总额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出该公司激励销售人员的嘉奖方案的函数表达式；
(2)假如业务员老张获得5.5万元的资金，那么他的销售利润是多少万元？
解 (1)由题意，
得y＝
(2)∵x∈(0,15]时，0.1x≤1.5，
又y＝5.5>1.5，∴x>15，
所以1.5＋2log5(x－14)＝5.5，x＝39.
答：老张的销售利润是39万元．
20．(本小题满分12分)某医药争辩所开发一种新药，假如成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；
(2)据进一步测定：每毫克血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效．
①求服药一次治疗疾病有效的时间；
②当t＝5时，其次次服药，求服药后30分钟，每毫升血液中的含药量．
解 (1)把点M(1,4)分别代入所给解析式可得
y＝
(2)①∵解得0.0625≤t<1.
又解得1≤t≤5.
综上知，0.0625≤t≤5.
②由题设知，其次次服药后血液中每毫升的含药量
y＝×4＋23－5.5
＝2＋0.177＝2.177(微克)．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x－1＋x2－2，试利用基本初等函数的图象推断f(x)有几个零点；并利用零点存在性定理确定各零点所在的范围(各区间长度不超过1)．
解
由f(x)＝0，得x－1＝－x2＋2，令y＝x－1，y＝－x2＋2，其中抛物线顶点为(0,2)，与x轴交于点(－2,0)，(2,0)．
如图所示y＝x－1，y＝－x2＋2的图象有3个交点，从而函数f(x)有3个零点．
∵x≠0，f(x)图象在(－∞，0)，(0，＋∞)上分别是连续不断的，
且f(－3)＝>0，f(－2)＝－<0，f＝>0，
f(1)＝－<0，f(2)＝>0，
即f(－3)·f(－2)<0，f·f(1)<0，
f(2)·f(1)<0，
∴ 三个零点分别在区间(－3，－2)，，(1,2)内．
22．(本小题满分12分)某县城出租车的收费标准是：起步价是5元(乘车不超过3公里)；行驶3公里后，每公里车费1.2元；行驶10公里后，每公里车费1.8元．
(1)写出车费与路程的关系式；
(2)一顾客行程30公里，为了省钱，他设计了两种乘车方案：
①分两段乘车：乘一车行15公里，换乘另一车再行15公里；
②分三段乘车：每乘10公里换一次车．
问哪一种方案最省钱．
解 (1)车费f(x)与路程x的关系式为
f(x)＝
即f(x)＝
(2)30公里不换车的车费为1.8×30－4.6＝49.4(元)；
方案①：行驶两个15公里的车费为
(1.8×15－4.6)×2＝44.8(元)；
方案②：行三个10公里的车费为
(1.2×10＋1.4)×3＝40.2(元)．
由此可见，方案①和方案②都比不换车省钱，方案②比方案①更省钱．
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