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专题四 数 列
第1讲 等差数列与等比数列
1．(仿2021·广东，12)已知数列{an}为等差数列，且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)＝________.
解析 ∵a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a2＋a12＝2a7＝，
∴tan(a2＋a12)＝tan＝－tan＝－.
答案 －
2．(仿2022·江西，12)等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则前9项的和S9等于________．
解析 ∵{an}为等差数列，由a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27可知3a4＝39,3a6＝27.∴a4＝13，a6＝9，∴S9＝×9＝×9＝9×＝99.
答案 99
3．(仿2022·安徽，4)在等比数列{an}中，已知a1aa15＝243，则的值为________．
解析 a1aa15＝243，∴a8＝3，又∵＝＝a，∴＝9.
答案 9
4．(仿2021·辽宁，14)设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，若S4＝1，则S8＝________.
解析 由于S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1，S8＝S4＋a5＋a6＋a7＋a8＝S4＋S4·q4，又q＝2.所以S8＝1＋24＝17.
答案 17
5．(仿2021·重庆，12)已知等比数列{an}中，a1＝1，且4a2,2a3，a4成等差数列，则a2＋a3＋a4等于________．
解析 设等比数列{an}的公比为q，又∵a1＝1，∴an＝qn－1.又∵4a2,2a3，a4成等差数列．∴4a3＝4a2＋a4.∴4q2＝4q＋q3，又∵q≠0，∴q2－4q＋4＝0，∴q＝2.∴an＝2n－1.∴a2＋a3＋a4＝2＋4＋8＝14.
答案 14
6．(仿2021·北京，10)在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.
解析 ∵{an}为等比数列，且a1＝，a4＝－4，
∴q3＝＝－8，∴q＝－2.
∴an＝·(－2)n－1，∴|an|＝2n－2，
∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|
＝＝(2n－1)＝2n－1－.
答案 2n－1－
7．(仿2022·湖北，7)若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{an}是公比为q的无穷等比数列，下列{an}的四组量中，肯定能成为该数列“基本量”的是________．(写出全部符合要求的组号)
①S1与S2；②a2与S3；③a1与an；④q与an.
其中n为大于1的整数，Sn为{an}的前n项和．
解析 ①∵a1＝S1，a2＝S2－S1，q确定，∴等比数列{an}确定．②由S3＝a1＋a2＋a3＝＋a2＋a2q，q＋＋1＝，即q2＋q＋1＝0.不能唯一确定q，从而该数列不能唯一确定．③qn－1＝，n为奇数时n－1为偶数，q不能唯一确定．④a1＝唯一确定，即{an}唯一确定，∴①④满足题意．
答案 ①④
8．(仿2022·北京，10)设数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，且S＝9S2，S4＝4S2，则数列{an}的通项公式为________．
解析 设等差数列{an}的公差为d，由Sn＝na1＋d及已知条件得(3a1＋3d)2＝9(2a1＋d)．①
4a1＋6d＝4(2a1＋d)．②
由②得d＝2a1，代入①有a＝a1，解得a1＝0或a1＝.
当a1＝0时，d＝0，舍去．因此a1＝，d＝.
故数列{an}的通项公式为an＝＋(n－1)·＝(2n－1)．
答案 an＝(2n－1)
9．(仿2022·湖北，18)在等差数列{an}中，a16＋a17＋a18＝a9＝－36，其前n项和为Sn.
(1)求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值；
(2)求Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|.
解 (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
∵a16＋a17＋a18＝3a17＝－36，∴a17＝－12.
∴d＝＝＝3，
∴an＝a9＋(n－9)·d＝3n－63，an＋1＝3n－60.
令得20≤n≤21.
∴S20＝S21＝＝－630.
∴当n＝20或21时，Sn取最小值且最小值为－630.
(2)由(1)知前20项均小于零，第21项等于0.以后各项均为正数．
当n≤21时，
Tn＝－Sn＝－
＝－n2＋n；
当n＞21时，Tn＝Sn－2S21
＝－2S21
＝n2－n＋1 260.
综上，
Tn＝
10．(仿2021·广东，19)设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban－2n＝(b－1)Sn.
(1)证明：当b＝2时，{an－n·2n－1}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式．
解 由题意知a1＝2，且ban－2n＝(b－1)Sn，ban＋1－2n＋1＝(b－1)Sn＋1，
两式相减得b(an＋1－an)－2n＝(b－1)an＋1，
即an＋1＝ban＋2n.①
(1)证明 当b＝2时，由①知an＋1＝2an＋2n，
于是an＋1－(n＋1)·2n＝2an＋2n－(n＋1)·2n＝2(an－n·2n－1)，
又a1－1·21－1＝1≠0，所以{an－n·2n－1}是首项为1，公比为2的等比数列．
(2)当b＝2时，由(1)知an－n·2n－1＝2n－1，即an＝(n＋1)·2n－1；当b≠2时，由①得，an＋1－·2n＋1＝ban＋2n－·2n＋1＝ban－·2n＝b，因此an＋1－·2n＋1
＝b＝·bn，
得an＝
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