2020-2021学年高中数学(人教A版选修2-2)课时作业-2.1.2-演绎推理.docx

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课时提升作业(十五)
演绎推理

一、选择题(每小题3分，共18分)
1.已知△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，求证：a<b.
证明：由于∠A=30°，∠B=60°，所以∠A<∠B.
所以a<b.其中，划线部分是演绎推理的(　　)
A.大前提 B.小前提
C.结论 D.三段论
【解析】选B.由三段论的组成可得划线部分为三段论的小前提.
2.演绎推理是以下列哪个为前提推出某个特殊状况下的结论的推理方法(　　)
A.一般的原理 B.特定的命题
C.一般的命题 D.定理、公式
【解析】选A.演绎推理是依据一般的原理，对特殊状况做出的推断.故其推理的前提是一般的原理.
3.(2022·厦门高二检测)“由于四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是(　　)
A.正方形都是对角线相等的四边形
B.矩形都是对角线相等的四边形
C.等腰梯形都是对角线相等的四边形
D.矩形都是对边平行且相等的四边形
【解析】选B.由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形.
故应选B.
4.“π是无限不循环小数，所以π是无理数”以上推理的大前提是(　　)
A.实数分为有理数和无理数
B.π不是有理数
C.无理数都是无限不循环小数
D.有理数都是有限循环小数
【解析】选C.用三段论推导一个结论成立，大前提应当是结论成立的依据.由于无理数都是无限不循环小数，π是无限不循环小数，所以π是无理数，故大前提是无理数都是无限不循环小数.
5.《论语·子路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足.”上述推理用的是(　　)
A.类比推理 B.归纳推理
C.演绎推理 D.一次三段论
【解析】选C.这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式.
6.(2022·郑州高二检测)在R上定义运算⊗：x⊗y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x都成立，则(　　)
A.-1<a<1 B.0<a<2
C.-12<a<32 D.-32<a<12
【解题指南】应用演绎推理结合不等式进行推理.
【解析】选C.由于x⊗y=x(1-y)，
所以(x-a)⊗(x+a)=(x-a)(1-x-a)，
即原不等式等价于
(x-a)(1-x-a)<1即x2-x-(a2-a-1)>0.
所以Δ=1+4(a2-a-1)<0即4a2-4a-3<0.
解得-12<a<32.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.以下推理过程省略的大前提为：________.
由于a2+b2≥2ab，
所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab.
【解析】由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2+b2，故大前提为：若a≥b，则a+c≥b+c.
答案：若a≥b，则a+c≥b+c
8.(2022·苏州高二检测)一切奇数都不能被2整除，2100+1是奇数，所以2100+1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为________________________________________________________________________________________________________________________.
【解析】大前提指的是已知的一般原理，小前提指的是所争辩的特殊状况，而结论是依据一般原理，对特殊状况做出的推断，故此处的大前提是一切奇数都不能被2整除，小前提是2100+1是奇数，结论是2100+1不能被2整除，故可用三段论表示为：一切奇数都不能被2整除，…大前提
2100+1是奇数，…小前提
所以2100+1不能被2整除.…结论
答案：一切奇数都不能被2整除，…大前提
2100+1是奇数，…小前提
所以2100+1不能被2整除.…结论
9.不等式ax2+4x+a>1-2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________.
【解析】不等式ax2+4x+a>1-2x2对一切x∈R恒成立，
即(a+2)x2+4x+a-1>0对一切x∈R恒成立.
(1)若a+2=0，明显不成立.
(2)若a+2≠0，则a+2>0,Δ<0,所以a>2.
答案：(2，+∞)
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.如图，△ABC是斜边为2的等腰直角三角形，点M，N分别为AB，AC上的点，过M，N的直线l将该三角形分成周长相等的两部分.

(1)问AM+AN是否为定值?请说明理由.
(2)如何设计，方能使四边形BMNC的面积最小?
【解析】(1)AM+AN是定值，理由如下，△ABC是斜边为2的等腰直角三角形，
所以AB=AC=BC2=2.
由于M，N分别为AB，AC上的点，过MN的直线将该三角形分成周长相等的两个部分，
所以AM+AN+MN=MB+BC+NC+MN，
所以AM+AN=MB+BC+NC.
又(AM+AN)+(MB+BC+NC)=AM+MB+BC+AN+NC=AB+BC+AC=2+22，
所以AM+AN=MB+BC+NC=2+1，
所以AM+AN为定值.
(2)当△AMN的面积最大时，四边形BMNC的面积最小，
AM+AN=2+1.
令AM=x，则AN=2+1-x，
S△AMN=12AM·AN=12x(2+1-x)
=-12x2-(2+1)x，
当x=2+12时，S△AMN有最大值，四边形BMNC的面积最小，
即当AM=AN=2+12时，四边形BMNC的面积最小.
11.(2022·西安高二检测)已知y=f(x)在(0，+∞)上有意义，单调递增，且满足f(2)=1，f(xy)=f(x)+f(y)，
(1)求证：f(x2)=2f(x).
(2)求f(1)的值.
(3)若f(x)+f(x+3)≤2，求x的取值范围.
【解析】(1)由于f(xy)=f(x)+f(y)，
所以f(x2)=f(x·x)=f(x)+f(x)=2f(x).
(2)由于f(1)=f(12)=2f(1)，
所以f(1)=0.
(3)由于f(x)+f(x+3)
=f(x(x+3))≤2
=2f(2)=f(4)，
且函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，
所以x>0,x+3>0,x(x+3)≤4,解得0<x≤1.

一、选择题(每小题4分，共16分)
1.“三角函数是周期函数，y=tanx，x∈-π2,π2是三角函数，所以y=tanx，x∈-π2,π2是周期函数.”在以上演绎推理中，下列说法正确的是(　　)
A.推理完全正确 B.大前提不正确
C.小前提不正确 D.推理形式不正确
【解析】选C.y=tanx，x∈-π2,π2只是三角函数的一部分，并不能代表一般的三角函数，所以小前提错误，导致整个推理结论错误.
2.在“△ABC中，E，F分别是边AB，AC的中点，则EF∥BC”的推理过程中，大前提是(　　)
A.三角形的中位线平行于第三边
B.三角形的中位线等于第三边长的一半
C.E，F为AB，AC的中点
D.EF∥BC
【解析】选A.本题的推理形式是三段论，其大前提是一个一般的结论，即三角形中位线定理.
3.已知函数f(x)=|sinx|的图象与直线y=kx(k>0)有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，令A=cosαsinα+sin3α，B=1+α24α，则(　　)
A.A>B B.A<B
C.A=B D.A与B的大小不确定
【解析】选C.作出函数f(x)=|sinx|的图象与直线y=kx(k>0)的图象，如图所示，

要使两个函数有且仅有三个交点，
则由图象可知，直线在π,3π2内与f(x)相切.
设切点为P(α，-sinα)，
当x∈π,3π2时，f(x)=|sinx|=-sinx，
此时f′(x)=-cosx，x∈π,3π2.
所以-cosα=-sinαα，即α=tanα，
所以cosαsinα+sin3α=cosα4sinαcos2α=14sinαcosα=
cos2α+sin2α4sinαcosα=1+tan2α4tanα=1+α24α.
即A=B.
4.在证明f(x)=2x+1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)=2x+1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)=2x+1满足增函数的定义是小前提.其中正确的命题是(　　)
A.①④ B.②④ C.①③ D.②③
【解析】选A.依据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)=2x+1满足增函数的定义；结论是f(x)=2x+1为增函数，故①④正确.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.(2022·长春高二检测)已知sinα=m-3m+5，cosα=4-2mm+5，其中α为其次象限角，则m的值为________.
【解题指南】利用sin2α+cos2α=1结合α为其次象限角解决.
【解析】由sin2α+cos2α=(m-3)2(m+5)2+(4-2m)2(m+5)2=5m2-22m+25(m+5)2=1得m(m-8)=0，所以m=0或m=8.又α为其次象限角，所以sinα>0，cosα<0.所以m=8(m=0舍去)
答案：8
【误区警示】本题易忽视α为其次象限角这一条件毁灭两个答案的错误.
6.(2021·聊城高二检测)已知f(1，1)=1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且对任意m，n∈N*都有：
①f(m，n+1)=f(m，n)+2　②f(m+1，1)=2f(m，1)
给出以下三个结论：
(1)f(1，5)=9.(2)f(5，1)=16.(3)f(5，6)=26.
其中正确结论为________.
【解析】由条件可知，
由于f(m，n+1)=f(m，n)+2，且f(1，1)=1，
所以f(1，5)=f(1，4)+2=f(1，3)+4=f(1，2)+6
=f(1，1)+8=9.
又由于f(m+1，1)=2f(m，1)，
所以f(5，1)=2f(4，1)=22f(3，1)
=23f(2，1)=24f(1，1)=16，
所以f(5，6)=f(5，1)+10=24f(1，1)+10=26.
故(1)(2)(3)均正确.
答案：(1)(2)(3)
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a，D，E分别为C1C与AB的中点，A1B交AB1于点G.
(1)求证：A1B⊥AD.
(2)求证：EC∥平面AB1D.
【解题指南】(1)线线垂直→线面垂直→线线垂直.
(2)线线平行→线面平行.
【证明】(1)连接A1D，DG，BD.
由于三棱柱ABC-A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱，
所以四边形A1ABB1为正方形.
所以A1B⊥AB1.
由于点D是C1C的中点，
所以△A1C1D≌△BCD.
所以A1D=BD.
所以点G为A1B与AB1的交点，
所以G为A1B的中点.
所以A1B⊥DG.
又由于DG∩AB1=G，
所以A1B⊥平面AB1D.
又由于AD⊂平面AB1D，
所以A1B⊥AD.
(2)连接GE，所以EG∥A1A，
所以GE⊥平面ABC.
由于DC⊥平面ABC，所以GE∥DC.
又由于GE=DC=12a，
所以四边形GECD为平行四边形.
所以EC∥GD.
又由于EC⊄平面AB1D，DG⊂平面AB1D，
所以EC∥平面AB1D.
8.(2022·广州高二检测)在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*.
(1)证明数列{an-n}是等比数列.
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
(3)证明不等式Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立.
【解析】(1)由于an+1=4an-3n+1，
所以an+1-(n+1)=4(an-n)，n∈N*.
又a1-1=1，所以数列{an-n}是首项为1，且公比为4的等比数列.
(2)由(1)可知an-n=4n-1，于是数列{an}的通项公式为an=4n-1+n.
所以数列{an}的前n项和Sn=4n-13+n(n+1)2.
(3)对任意的n∈N*，
Sn+1-4Sn=4n+1-13+(n+1)(n+2)2-
44n-13+n(n+1)2=-12(3n2+n-4)≤0.
所以不等式Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立.
【变式训练】已知函数f(x)=2x-12x+1(x∈R).
(1)判定函数f(x)的奇偶性.
(2)判定函数f(x)在R上的单调性，并证明.
【解析】(1)对任意x∈R有-x∈R，
并且f(-x)=2-x-12-x+1
=1-2x1+2x
=-2x-12x+1=-f(x)，
所以f(x)是奇函数.
(2)方法一：f(x)在R上单调递增，证明如下：
任取x1，x2∈R，并且x1>x2，
f(x1)-f(x2)=2x1-12x1+1-2x2-12x2+1
=(2x1-1)(2x2+1)-(2x2-1)(2x1+1)(2x1+1)(2x2+1)
=2(2x1-2x2)(2x1+1)(2x2+1).
由于x1>x2，所以2x1>2x2>0，
即2x1-2x2>0，
又由于2x1+1>0，2x2+1>0.
所以2(2x1-2x2)(2x1+1)(2x2+1)>0.
所以f(x1)>f(x2).
所以f(x)在R上为单调递增函数.
方法二：f(x)在R上单调递增，f′(x)=2x+1ln2(2x+1)2>0，
所以f(x)在R上为单调递增函数.
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