2020-2021学年高中数学(人教A版选修2-2)课时作业-2.3-数学归纳法.docx

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(十九)数学归纳法一、选择题(每小题3分，共18分)1.某同学回答“用数学归纳法证明n(n+1)n+1(nN*)”的过程如下：证明：当n=1时，明显命题是正确的；假设当n=k(k1，kN*)时，有k(k+1)k+1，那么当n=k+1时，(k+1)2+(k+1)=k2+3k+212-1n+2.假设n=k时，不等式成立，则当n=k+1时，应推证的目标不等式是_.【解析】从不等式结构看，左边n=k+1时，最终一项为1(k+2)2，前面的分母的底数是连续的整数.右边n=k+1时，式子12-1(k+1)+2.即不等式为122+132+1(k+2)212-1k+3.答案：122+132+1(k+1)2+1(k+2)212-1k+39.(2022武汉高二检测)用数学归纳法证明12+22+(n-1)2+n2+(n-1)2+22+12=n(2n2+1)3时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是_.【解析】依据等式左边的特点，各数是先递增再递减，由于n=k，左边=12+22+(k-1)2+k2+(k-1)2+22+12，n=k+1时，左边=12+22+(k-1)2+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+22+12，比较两式，从而等式左边应添加的式子是(k+1)2+k2.答案：(k+1)2+k2三、解答题(每小题10分，共20分)10.用数学归纳法证明14+27+310+n(3n+1)=n(n+1)2(其中nN*).【证明】(1)当n=1时，左边=14=4，右边=122=4，左边=右边，等式成立.(2)假设当n=k(k1，kN*)时等式成立，即14+27+310+k(3k+1)=k(k+1)2，那么，当n=k+1时，14+27+310+k(3k+1)+(k+1)3(k+1)+1=k(k+1)2+(k+1)3(k+1)+1=(k+1)(k2+4k+4)=(k+1)(k+1)+12，即当n=k+1时等式也成立.依据(1)和(2)，可知等式对任意nN*都成立.11.(2022莆田高二检测)设函数y=f(x)对任意实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy.(1)求f(0)的值.(2)若f(1)=1，求f(2)，f(3)，f(4)的值.(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(nN*)的表达式，并用数学归纳法加以证明.【解析】(1)令x=y=0，得f(0+0)=f(0)+f(0)+200f(0)=0.(2)f(1)=1，f(2)=f(1+1)=1+1+2=4，f(3)=f(2+1)=4+1+221=9，f(4)=f(3+1)=9+1+231=16.(3)猜想f(n)=n2，下面用数学归纳法证明.当n=1时，f (1)=1满足条件.假设当n=k(kN*)时成立，即f(k)=k2，则当n=k+1时，f(k+1)=f(k)+f(1)+2k=k2+1+2k=(k+1)2，从而可得当n=k+1时满足条件，所以对任意的正整数n，都有f(n)=n2.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2022长春高二检测)用数学归纳法证明等式1+2+3+(n+3)=(n+3)(n+4)2(nN*)时，第一步验证n=1时，左边应取的项是()A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+4【解析】选D.在等式1+2+3+(n+3)=(n+3)(n+4)2(nN*)中，当n=1时，n+3=4，而等式左边是起始为1的连续的正整数的和，故当n=1时，等式左边的项为1+2+3+4，故选D.2.用数学归纳法证明1+2+3+n2=n4+n22，则当n=k+1时，左端应在n=k的基础上增加()A.k2+1B.(k+1)2C.(k+1)4+(k+1)22D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+(k+1)2【解析】选D.当n=k时，等式左端=1+2+k2，当n=k+1时，等式左端=1+2+k2+(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+(k+1)2，增加了2k+1项.3.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-12+13-14+1n-1-1n=21n+2+1n+4+12n时，若已假设n=k(k2且k为偶数)时，命题为真，则还需利用归纳假设再证()A.n=k+1时等式成立B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.n=2(k+2)时等式成立【解析】选B.由于k为偶数，所以利用归纳假设证明时需证n=k+2时等式成立.4.(2022吉林高二检测)已知f(n)=(2n+7)3n+9，存在自然数m，使得对任意nN*，都能使m整除f(n)，则m的最大值为()A.30B.26C.36D.6【解析】选C.由于f(1)=36，f(2)=108=336，f(3)=360=1036，所以f(1)，f(2)，f(3)都能被36整除，推想最大的m的值为36，再由数学归纳法可证得，对任意nN*，都能使36整除f(n).二、填空题(每小题5分，共10分)5.设数列的通项公式为an=n(n+1)!，前n项和为Sn，则S1=_，S2=_，S3=_，S4=_，并由此猜想出Sn=_.【解析】由于an=n(n+1)!，所以S1=a1=12，S2=a1+a2=12+13=56，S3=a1+a2+a3=12+13+18=2324，S4=a1+a2+a3+a4=12+13+18+130=119120，由此猜想Sn=(n+1)!-1(n+1)!.答案：12562324119120(n+1)!-1(n+1)!6.已知1+23+332+433+n3n-1=3n(na-b)+c对一切nN*成立，那么a=_，b=_，c=_.【解题指南】利用n=1，2，3，分别建立三个等式，通过解方程组可求得.【解析】把n=1，2，3代入1+23+332+433+n3n-1=3n(na-b)+c，可得1=3(a-b)+c,1+23=32(2a-b)+c,1+23+332=33(3a-b)+c.整理并解得a=12,b=14,c=14.答案：121414【变式训练】设an=1+12+13+1n(nN*)，猜想关于n的整式g(n)=_时，使得等式a1+a2+an-1=g(n)(an-1)对于大于1的一切正整数n都成立.【解析】假设g(n)存在，探究g(n).当n=2时，有a1=g(2)(a2-1)，即1=g(2)(1+12-1)，解得g(2)=2.当n=3时，有a1+a2=g(3)(a3-1)，即1+1+12=g(3)(1+12+13-1)，解得g(3)=3.当n=4时，同样可解得g(4)=4.由此猜想g(n)=n(nN*，且n2).答案：n三、解答题(每小题12分，共24分)7.(2022南昌高二检测)用数学归纳法证明tantan2+tan2tan3+tan(n-1)tann=tanntan-n(n2，nN*).【证明】当n=2时，左边=tantan2.右边=tan2tan-2=2tan1-tan21tan-2=21-tan2-2=2tan21-tan2=tan2tan1-tan2=tantan2.所以左边=右边，等式成立.假设n=k(k2，kN*)时等式成立，即有tantan2+tan2tan3+tan(k-1)tank=tanktan-k.当n=k+1时，利用归纳假设有，tantan2+tan2tan3+tan(k-1)tank+tanktan(k+1)=tanktan-k+tanktan(k+1)=tank1+tantan(k+1)tan-k=1tantan(k+1)-tan-k=tan(k+1)tan-(k+1)，所以n=k+1时，等式也成立，故由和知，n2，nN*时等式恒成立.【变式训练】用数学归纳法证明12+32+52+(2n-1)2=13n(4n2-1)(nN*).【证明】(1)当n=1时，左边=12，右边=131(41-1)=1，左边=右边，等式成立.(2)假设当n=k(kN*，k1)时，等式成立，即12+32+52+(2k-1)2=13k(4k2-1)，则当n=k+1时，12+32+52+(2k-1)2+(2k+1)2=13k(4k2-1)+(2k+1)2=13k(2k+1)(2k-1)+(2k+1)2=13(2k+1)k(2k-1)+3(2k+1)=13(2k+1)(2k2+5k+3)=13(2k+1)(k+1)(2k+3)=13(k+1)(4k2+8k+3)=13(k+1)4(k+1)2-1，即当n=k+1时，等式成立.由(1)，(2)可知，对一切nN*等式成立.8.等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数y=bx+r(b0且b1，b，r均为常数)的图象上.(1)求r的值.(2)当b=2时，记bn=2(log2an+1)(nN*)，证明：对任意的nN*，不等式b1+1b1b2+1b2bn+1bnn+1成立.【解析】(1)由题意，Sn=bn+r，当n2时，Sn-1=bn-1+r，所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1).由于b0且b1，所以n2时，an是以b为公比的等比数列.又a1=b+r，a2=b(b-1)，a2a1=b，即b(b-1)b+r=b，解得r=-1.(2)由(1)知an=2n-1，因此bn=2n(nN*).所证不等式为2+124+142n+12nn+1.当n=1时，左边=32，右边=2，左边右边，所以结论成立.假设n=k(kN*)时结论成立，即2+124+142k+12kk+1，则当n=k+1时，2+124+142k+12k2k+32(k+1)k+12k+32(k+1)=2k+32k+1，要证当n=k+1时结论成立，只需证2k+32k+1k+2，即证2k+32(k+1)(k+2).由均值不等式知2k+32=(k+1)+(k+2)2(k+1)(k+2)成立，故2k+32k+1k+2成立，所以当n=k+1时，结论成立.由可知，nN*时，不等式b1+1b1b2+1b2bn+1bnn+1成立.【变式训练】设数列an的前n项和为Sn，且对任意nN*都有：(Sn-1)2=anSn.(1)求S1，S2，S3.(2)猜想Sn的表达式并证明.【解析】(1)n2时，(Sn-1)2=(Sn-Sn-1)Sn，所以Sn=12-Sn-1.又(S1-1)2=S12，所以S1=12，S2=23，S3=34.(2)猜想Sn=nn+1.下面用数学归纳法证明：当n=1时，S1=12，nn+1=12，猜想正确；假设当n=k(kN*)时，猜想正确，即Sk=kk+1，那么，n=k+1时，由Sk+1=12-Sk=12-kk+1=k+1(k+1)+1，猜想也成立，综上知，Sn=nn+1对任意nN*均成立.关闭Word文档返回原板块