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提能专训(十三)
空间几何体的三视图、表面积及体积
一、选择题
1．(2022·南阳模拟)已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有始终角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( )
[答案] C
[解析] 由题中侧视图知，有一侧棱垂直底面，有一侧看不到，应画为虚线，因此应选C.
2．(2022·江西师大附中模拟)已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图面积为( )
A. B. C．1 D.
[答案] B
[解析] 由题中主视图和俯视图知，该三棱锥如图所示，
其侧视图是一个两直角边分别为和1的直角三角形．故它的面积为×1×＝.
3．(2022·凉山二诊)如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1，则该几何体的表面积是( )
A．1＋ B．2＋2
C. D．2＋
[答案] D
[解析] 由题中三视图知，该几何体是四棱锥，如图所示，
其底面是边长为1的正方形，高为1，且高为1的侧棱垂直底面．如图，其表面积S＝1＋＋＋＋＝2＋.
4．(2022·山西四校四联)已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的全部面均相切，那么这个三棱柱的表面积是( )
A．6 B．12
C．18 D．24
[答案] C
[解析] 此三棱柱为正三棱柱，体积为的球体半径为1，由此可以得到三棱柱的高为2，底面正三角形中心到三角形边的距离为1，故可得到三角形的高是3，三角形边长是2，所以三棱柱的表面积为2××(2)2＋3×2×2＝18.
5．(2022·绵阳二诊)一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为( )
A．8＋ B．8＋
C．8＋ D．8＋
[答案] A
[解析] 由三视图可知，该零件的下部是一个棱长为2的正方体，上部是一个半径为1的球的，所以其体积V＝23＋×＝8＋，故选A.
6．(2022·南充一模)一四周体的三视图如图所示，则该四周体四个面中最大的面积是( )
A．2 B．2
C. D．2
[答案] D
[解析] 由题中三视图可知，该四周体为D－BD1C1，由直观图可知，面积最大的面为△BDC1.在正三角形BDC1中，BD＝2，所以面积S＝×(2)2×＝2，故选D.
7．(2022·唐山统考)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为( )
A．2 B．1
C. D.
[答案] C
[解析] 由题意知，球心在侧面BCC1B1的中心O上，BC为截面圆的直径，∴∠BAC＝90°，△ABC的外接圆圆心N是BC的中点，同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中点．设正方形BCC1B1的边长为x，在Rt△OMC1中，OM＝，MC1＝，OC1＝R＝1(R为球的半径)，∴2＋2＝1，即x＝，则AB＝AC＝1，
∴S矩形ABB1A1＝×1＝.
8．(2022·南昌一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为( )
A．1 B. C. D.
[答案] D
[解析] 由题中三视图可知，该几何体为三棱锥，设此三棱锥的高为x，则主视图中的长为，所以所求体积V＝×x＝≤×＝，当且仅当＝x，即x＝时取等号，所以该几何体的体积的最大值为.
9．(2022·湖南六校联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为( )
A．4π B．12π
C．2π D．4π
[答案] A
[解析] 由题中三视图可知，该几何体是一个底面为等腰直角三角形，腰为2，有一侧棱垂直于底面的三棱锥，且此侧棱长为2，此三棱锥恰为棱长为2的正方体切割而成，三棱锥的四个顶点恰为此正方体的顶点，故正方体的外接球就是此三棱锥的外接球，半径R为正方体的体对角线长的，R＝＝，所以其外接球的体积为V＝πR3＝4π.
10．(2022·石家庄调研)已知球O，过其球面上A，B，C三点作截面，若点O到该截面的距离是球半径的一半，且AB＝BC＝2，∠B＝120°，则球O的表面积为( )
A. B. C．4π D.
[答案] A
[解析] AC＝
＝2，设△ABC所在截面圆半径为r，则2r＝＝＝4，即r＝2，d＝，而d2＋r2＝R2，即2＋4＝R2，解得R2＝，所以S球＝4πR2＝4π×＝.
二、填空题
11．(2022·长春二模)用一个边长为4的正三角形硬纸，沿各边中点连线垂直折起三个小三角形，做成一个蛋托，半径为1的鸡蛋(视为球体)放在其上(如图)，则鸡蛋中心(球心)与蛋托底面的距离为________．
[答案] ＋
[解析] 由题意可知蛋托的高为，且折起的三个小三角形顶点连线构成边长为1的等边三角形，鸡蛋中心到此等边三角形所在平面的距离d＝＝，所以鸡蛋中心与蛋托底面的距离为＋.
12．(2022·陕西质检)已知一个空间几何体的三视图如图所示，依据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积为________．
[答案]
[解析] 由题中三视图知，该几何体为组合体，上面为三棱锥，下面为直三棱柱，共同底面为等腰直角三角形且腰长为2，三棱锥和三棱柱的高都为2，则体积V＝2××2×2＋×2××2×2＝.
13．(2022·石家庄一模)在三棱锥P－ABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，Q为底面△ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3,4,5，则过点P和Q的全部球中，表面积最小的球的表面积为________．
[答案] 50π
[解析] ∵侧棱PA，PB，PC两两垂直，∴过点P和Q的全部球中，表面积最小的球是以PQ为体对角线，长、宽、高分别是4,3,5的长方体的外接球，此球的表面积是50π.
14．(2022·南京、盐城一模)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝2，E为AB的中点，则四周体PBCE的体积为________．
[答案]
[解析] 明显PA⊥平面BCE，底面BCE的面积为×1×2×sin 120°＝，所以VP－BCE＝×2×＝.
15．(2022·安徽模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AB，CD上，若EF＝2，现有以下五种说法：
①四周体PEFQ的体积与点P，Q的位置无关；
②△EFQ的面积为定值；
③四周体PEFQ的体积与点P的位置有关，与点Q的位置无关；
④四周体PEFQ的体积为正方体体积的；
⑤点P到平面EFQ的距离随着P的变化而变化．
其中正确的序号是________．
[答案] ①②④
[解析] 由题意，△EFQ的高始终为定值，即矩形A1B1CD的宽4，又EF＝2，故其面积为定值×2×4＝4，故②正确；又AB∥平面A1B1CD，故点P到△EFQ的距离为定值，故⑤错误；连接B1C与BC1交于点O，则OB即为点P到△EFQ的距离，为2，四周体PEFQ的体积为定值×4×2＝，故①正确，③错误；体积之比为＝，故④正确．
16．(2022·德州二模)一个几何体的三视图如图所示，其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积是________．
[答案] 8＋π
[解析] 观看题中三视图可知，该几何体是圆锥的一半与一个四棱锥的组合体，圆锥底面半径为2，四棱锥底面边长分别为3,4，它们的高均为＝2，所以该几何体体积为×π×22×2＋×4×3×2＝8＋π.
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