2020-2021学年高中数学(人教A版选修2-2)课时作业-2.1.2-演绎推理.docx

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课时提升作业(十五)
演绎推理

一、选择题(每小题3分，共18分)
1.已知△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，求证：a一般的原理 B.特定的命题
C.一般的命题 D.定理、公式
【解析】选A.演绎推理是依据一般的原理，对特殊状况做出的推断.故其推理的前提是一般的原理.
3.(2022·厦门高二检测)“由于四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是(　　)
A.正方形都是对角线相等的四边形
B.矩形都是对角线相等的四边形
C.等腰梯形都是对角线相等的四边形
D.矩形都是对边平行且相等的四边形
【解析】选B.由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形.
故应选B.
4.“π是无限不循环小数，所以π是无理数”以上推理的大前提是(　　)
A.实数分为有理数和无理数
B.π不是有理数
C.无理数都是无限不循环小数
D.有理数都是有限循环小数
【解析】选C.用三段论推导一个结论成立，大前提应当是结论成立的依据.由于无理数都是无限不循环小数，π是无限不循环小数，所以π是无理数，故大前提是无理数都是无限不循环小数.
5.《论语·子路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足.”上述推理用的是(　　)
A.类比推理 B.归纳推理
C.演绎推理 D.一次三段论
【解析】选C.这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式.
6.(2022·郑州高二检测)在R上定义运算⊗：x⊗y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x都成立，则(　　)
A.-10.
所以Δ=1+4(a2-a-1)<0即4a2-4a-3<0.
解得-12
【解析】大前提指的是已知的一般原理，小前提指的是所争辩的特殊状况，而结论是依据一般原理，对特殊状况做出的推断，故此处的大前提是一切奇数都不能被2整除，小前提是2100+1是奇数，结论是2100+1不能被2整除，故可用三段论表示为：一切奇数都不能被2整除，…大前提
2100+1是奇数，…小前提
所以2100+1不能被2整除.…结论
答案：一切奇数都不能被2整除，…大前提
2100+1是奇数，…小前提
所以2100+1不能被2整除.…结论
9不等式ax2+4x+a>1-2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________.
【解析】不等式ax2+4x+a>1-2x2对一切x∈R恒成立，
即(a+2)x2+4x+a-1>0对一切x∈R恒成立.
(1)若a+2=0，明显不成立.
(2)若a+2≠0，则a+2>0,Δ<0,所以a>2.
答案：(2，+∞)
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.如图，△ABC是斜边为2的等腰直角三角形，点M，N分别为AB，AC上的点，过M，N的直线l将该三角形分成周长相等的两部分.

(1)问AM+AN是否为定值?请说明理由.
(2)如何设计，方能使四边形BMNC的面积最小?
【解析】(1)AM+AN是定值，理由如下，△ABC是斜边为2的等腰直角三角形，
所以AB=AC=BC2=2.
由于M，N分别为AB，AC上的点，过MN的直线将该三角形分成周长相等的两个部分，
所以AM+AN+MN=MB+BC+NC+MN，
所以AM+AN=MB+BC+NC.
又(AM+AN)+(MB+BC+NC)=AM+MB+BC+AN+NC=AB+BC+AC=2+22，
所以AM+AN=MB+BC+NC=2+1，
所以AM+AN为定值.
(2)当△AMN的面积最大时，四边形BMNC的面积最小，
AM+AN=2+1.
令AM=x，则AN=2+1-x，
S△AMN=12AM·AN=12x(2+1-x)
=-12x2-(2+1)x，
当x=2+12时，S△AMN有最大值，四边形BMNC的面积最小，
即当AM=AN=2+12时，四边形BMNC的面积最小.
11.(2022·西安高二检测)已知y=f(x)在(0，+∞)上有意义，单调递增，且满足f(2)=1，f(xy)=f(x)+f(y)，
(1)求证：f(x2)=2f(x).
(2)求f(1)的值.
(3)若f(x)+f(x+3)≤2，求x的取值范围.
【解析】(1)由于f(xy)=f(x)+f(y)，
所以f(x2)=f(x·x)=f(x)+f(x)=2f(x).
(2)由于f(1)f(12)=2f(1)，
所以f(1)=0.
(3)由于f(x)+f(x+3)
=f(x(x+3))≤2
=2f(2)=f(4)，
且函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，
所以x>0,x+3>0,x(x+3)≤4,解得0函数的一部分，并不能代表一般的三角函数，所以小前提错误，导致整个推理结论错误.
2.在“△ABC中，E，F分别是边AB，AC的中点，则EF∥BC”的推理过程中，大前提是(　　)
A.三角形的中位线平行于第三边
B.三角形的中位线等于第三边长的一半
C.E，F为AB，AC的中点
D.EF∥BC
【解析】选A.本题的推理形式是三段论，其大前提是一个一般的结论，即三角形中位线定理.
3.已知函数f(x)=|sinx|的图象与直线y=kx(k>0)有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，令A=cosαsinα+sin3α，B=1+α24α，则(　　)
A.A>B B.A0)的图象，如图所示，

要使两个函数有且仅有三个交点，
则由图象可知，直线在π,3π2内与f(x)相切.
设切点为P(α，-sinα)，
当x∈π,3π2时，f(x)=|sinx|=-sinx，
此时f′(x)=-cosx，x∈π,3π2.
所以-cosα=-sinαα，即α=tanα，
所以cosαsinα+sin3α=cosα4sinαcos2α=14sinαcosα=
cos2α+sin2α4sinαcosα=1+tan2α4tanα=1α24α.
即A=B.
4.在证明f(x)=2x+1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)=2x+1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)=2x+1满足增函数的定义是小前提.其中正确的命题是(　　)
A.①④ B.②④ C.①③ D.②③
【解析】选A.依据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)=2x+1满足增函数的定义；结论是f(x)=2x+1为增函数，故①④正确.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.(2022·长春高二检测)已知sinα=m-3m+5，cosα=4-2mm+5，其中α为其次象限角，则m的值为________.
【解题指南】利用sin2α+cos2α=1结合α为其次象限角解决.
【解析】由sin2α+cos2α=(m-3)2(m+5)2+(4-2m)2(m+5)2=5m2-22m+25(m+5)2=1得m(m-8)=0，所以m=0或m=8.又α为其次象限角，所以sinα>0，cosα<0.所以m=8(m=0舍去)
答案：8
【误区警示】本题易忽视α为其次象限角这一条件毁灭两个答案的错误.
6.(2021·聊城高二检测)已知f(1，1)=1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且对任意m，n∈N*都有：
①f(m，n+1)=f(m，n)+2　②f(m+1，1)=2f(m，1)
给出以下三个结论：
(1)f(1，5)=9.(2)f(5，1)=16.(3)f(5，6)=26.
其中正确结论为________.
【解析】由条件可知，
由于f(m，n+1)=f(m，n)+2，且f(1，1)=1，
所以f(1，5)=f(1，4)+2=f(1，3)+4=f(1，2)+6
=f(1，1)+8=9.
又由于f(m+1，1)=2f(m，1)，
所以f(5，1)=2f(4，1)=22f(3，1)
=23f(2，1)=24f(1，1)=16，
所以f(5，6)=f(5，1)+10=24f(1，1)+10=26.
故(1)(2)(3)均正确.
答案：(1)(2)(3)
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a，D，E分别为C1C与AB的中点，A1B交AB1于点G.
(1)求证：A1B⊥AD.
(2)求证：EC∥平面AB1D.
【解题指南】(1)线线垂直→线面垂直→线线垂直.
(2)线线平行→线面平行.
【证明】(1)连接A1D，DG，BD.
由于三棱柱ABC-A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱，
所以四边形A1ABB1为正方形.
所以A1B⊥AB1.
由于点D是C1C的中点，
所以△A1C1D≌△BCD.
所以A1D=BD.
所以点G为A1B与AB1的交点，
所以G为A1B的中点.
所以A1B⊥DG.
又由于DG∩AB1=G，
所以A1B⊥平面AB1D.
又由于AD⊂平面AB1D，
所以A1B⊥AD.
(2)连接GE，所以EG∥A1A，
所以GE⊥平面ABC.
由于DC⊥平面ABC，所以GE∥DC.
又由于GE=DC=12a，
所以四边形GECD为平行四边形.
所以EC∥GD.
又由于EC⊄平面AB1D，DG⊂平面AB1D，
所以EC∥平面AB1D.
8.(2022·广州高二检测)在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*.
(1)证明数列{an-n}是等比数列.
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
(3)证明不等式Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立.
【解析】(1)由于an+1=4an-3n+1，
所以an+1-(n+1)=4(an-n)，n∈N*.
又a1-1=1，所以数列{an-n}是首项为1，且公比为4的等比数列.
(2)由(1)可知an-n=4n-1，于是数列{an}的通项公式为an=4n-1+n.
所以数列{an}的前n项和Sn=4n-13+n(n+1)2.
(3)对任意的n∈N*，
Sn+1-4Sn=4n+1-13+(n+1)(n+2)2-
44n-13+n(n+1)2=-12(3n2+n-4)≤0.
所以不等式Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立.
【变式训练】已知函数f(x)=2x-12x+1(x∈R).
(1)判定函数f(x)的奇偶性.
(2)判定函数f(x)在R上的单调性，并证明.
【解析】(1)对任意x∈R有-x∈R，
并且f(-x)=2-x-12-x+1
=1-2x1+2x
=-2x-12x+1=-f(x)，
所以f(x)是奇函数.
(2)方法一：f(x)在R上单调递增，证明如下：
任取x1，x2∈R，并且x1>x2，
f(x1)-f(x2)=2x1-12x1+1-2x2-12x2+1
=(2x1-1)(2x2+1)-(2x2-1)(2x1+1)(2x1+1)(2x2+1)
=2(2x1-2x2)(2x1+1)(2x2+1).
由于x1>x2，所以2x1>2x2>0，
即2x1-2x2>0，
又由于2x1+1>0，2x2+1>0.
所以2(2x1-2x2)(2x1+1)(2x2+1)>0.
所以f(x1)>f(x2).
所以f(x)在R上为单调递增函数.
方法二：f(x)在R上单调递增，f′(x)=2x+1ln2(2x+1)2>0，
所以f(x)在R上为单调递增函数.
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