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课时提升作业(一)
命 题
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.下列语句不是命题的有( )
①小明是六班的同学吗?
②x2-3x+2=0;
③3+1=5;
④5x-3>6.
A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④
【解析】选C.③是命题,且是假命题,其他均不是命题,故选C.
2.(2022·大连高二检测)已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题,那么下列命题中真命题的个数为( )
①M中的元素都不是P的元素;
②M中有不属于P的元素;
③M中有属于P的元素;
④M中的元素不都是P的元素.
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.由于命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题,因此M中有不属于P的元素,也可能有属于P的元素,故②④正确,因此选B.
【举一反三】本题中“是假命题”若改为“是真命题”,其结论又如何呢?
【解析】选A.③正确,①②④错误.
3.下列命题是真命题的为( )
A.若1x=1y,则x=y B.若x2=1,则x=1
C.若x=y,则x=y D.若x<y,则x2<y2
【解析】选A.由1x=1y得x=y;而由x2=1得x=±1;
由于x=y时,x,y不愿定有意义;
而由x<y不愿定得到x2<y2,故选A.
4.(2022·浙江高考)设l是直线,α,β是两个不同的平面,则下列为真命题的是
( )
A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l∥α,l⊥β,则α⊥β
C.若α⊥β,l⊥α,则l⊥β D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
【解析】选B.若l∥α,l∥β,则α∥β或α与β相交,选项A不正确;若l∥α,过l的平面与平面α交于直线m,则l∥m,又l⊥β,所以m⊥β,又m⊂α,从而α⊥β,选项B正确;若α⊥β,l⊥α,则l∥β或l⊂β,选项C不正确;若α⊥β,l∥α,则l⊥β或l∥β或l与β斜交,选项D不正确.
【变式训练】(2021·重庆高二检测)已知直线m,n互不重合,平面α,β互不重合,下列命题正确的是( )
A.若m∥α,m∥n,则n∥α
B.若m⊥α,m⊥n,则n∥α
C.若m⊥α,n⊥α,则m∥n
D.若α∩β=m,m∥n,则n∥α且n∥β
【解析】选C.若m∥α,m∥n,则n∥α或n⊂α,故A不正确;若m⊥α,m⊥n则n∥α或n⊂α,故B不正确;若m⊥α,n⊥α,则m∥n,故C正确;
若α∩β=m,m∥n,则n∥α且n∥β或直线n在其中一个平面内,所以D不正确.
5.(2022·海口高二检测)“若x>2,则p”为真命题,那么p不能是( )
A. x>3 B. x>1 C. x>0 D. x>-1
【解析】选A.大于2的实数不愿定大于3,故选A.
6.(2022·烟台高二检测)命题“平行四边形的对角线既相互平分,也相互垂直”的结论是( )
A.这个四边形的对角线相互平分
B.这个四边形的对角线相互垂直
C.这个四边形的对角线既相互平分,也相互垂直
D.这个四边形是平行四边形
【解析】选C.把命题改写成“若p,则q”的形式后可知C正确.故选C.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.下列语句:
①三角形的内角和为π;②0是最小的偶数吗?
③2不等于3;④若两直线不平行,则它们相交.
其中,不是命题的序号为 ,真命题的序号为 .
【解析】②是疑问句,不是命题.其余都是命题.①③是真命题,若两直线不平行,则它们相交或为异面直线,④是假命题.
答案:② ①③
8.命题:若a>0,则二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包括边界),条件p: ,结论q: ____________________,
是 命题.(填“真”或“假”)
【解题指南】本题主要利用线性规划的学问再结合命题的相关概念推断.
【解析】把握命题结构特征分析易得答案,本命题的条件是a>0,结论是二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包括边界),又由a>0可知,直线x+ay-1=0的斜率小于0,截距大于0,把(0,0)代入知原点不在x+ay-1≥0的区域内,故该命题是真命题.
答案:a>0 二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包括边界) 真
9.(2022·潍坊高二检测)命题“若x∈R,则x2+(a-1)x+1≥0恒成立”是真命题,则实数a的取值范围为 .
【解题指南】由条件知x2+(a-1)x+1≥0恒成立,然后利用Δ≤0即可求出a的范围.
【解析】由题意得Δ=(a-1)2-4≤0,即-1≤a≤3.
答案:[-1,3]
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.推断下列语句是否为命题,并说明理由.
(1)指数函数是增函数吗?
(2)x>2.
(3)x=2和x=3是方程x2-5x+6=0的根.
(4)求证方程x2+x+1=0无实数根.
(5)3>2.
(6)作△ABC∽△A′B′C′.
(7)这是一棵大树.
【解题指南】从两个方面推断:一是看是否为陈述句,二是看能否推断真假.
【解析】(1)是疑问句,不是陈述句,所以不是命题.
(2)(7)不能推断真假,不是命题.
(3)(5)是陈述句且能推断真假,是命题.
(4)(6)都是祈使句,不是陈述句,所以不是命题.
11.(2022·苏州高二检测)将下列命题改写为“若p,则q”的形式.并推断真假.
(1)偶数能被2整除.
(2)奇函数的图象关于原点对称.
【解析】(1)若一个数是偶数,则它能被2整除.真命题.
(2)若一个函数是奇函数,则它的图象关于原点对称.真命题.
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.下列语句中是命题的是( )
A.周期函数的和是周期函数吗?
B.sin 45°=1
C.x2≥3
D.梯形是不是平面图形呢?
【解析】选B.A,D是疑问句不是命题,C不能推断真假,故选B.
2.在下列四个命题中,是真命题的序号为( )
①3>3;
②50是10的倍数;
③有两个角是锐角的三角形是锐角三角形;
④等边三角形的三个内角相等.
A.①③ B.①② C.②③ D.②④
【解析】选D.3>3明显不正确,有两个角是锐角的三角形不愿定是锐角三角形,比如直角三角形有两个锐角,故①③错误,②④明显正确.
【举一反三】本题中的命题改为下列命题,则其中是真命题的序号为 .
①3≥3;
②50是10的约数;
③有三个角是锐角的三角形是锐角三角形;
④等边三角形确定是等腰三角形.
【解析】3≥3正确,50是10的约数错误,③,④正确.
答案:①③④
3.(2021·广东高考)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )
A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n
B.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n
C.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥β
D.若m⊥α,m∥n ,n∥β,则α⊥β
【解析】选D.对于选项A,分别在两个垂直平面内的两条直线平行、相交、异面都可能,但未必垂直;对于选项B,分别在两个平行平面内的两条直线平行、异面都可能;对于选项C,两个平面分别经过两垂直直线中的一条,不能保证两个平面垂直;对于选项D,m⊥α,m∥n,则n⊥α;又由于n∥β,则β内存在与n平行的直线l,由于n⊥α,则l⊥α,由于l⊥α,l⊂β,所以α⊥β.
4.设a是已知的平面对量且a≠0,关于向量a的分解,有如下三个命题:
①给定向量b,总存在向量c,使a=b+c;
②给定向量b和c,总存在实数λ和μ,使a=λb+μc;
③给定正数λ和μ,总存在单位向量b和单位向量c,使a=λb+μc.
上述命题中的向量b, c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是
( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解题指南】本题考查平面对量的加减运算、平面对量基本定理、平面对量的几何意义等学问,可逐一检验.
【解析】选C.利用向量加法的三角形法则,易得①是真命题;利用平面对量的基本定理,易得②是真命题;由向量加法的三角形法则(不共线两边的和大于第三边),即|λb|+|μc|=λ+μ>|a|,而给定的λ和μ不愿定满足此条件,所以③是假命题.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2022·兰州高二检测)命题“若a2+b2≠0,则a≠0且b≠0”的真假性为
(填“真”或“假”).
【解题指南】要推断某一命题是假命题,只需举一反例即可.
【解析】若a2+b2≠0,则a=0或b=0有可能成立,如a=0,b=1,明显a2+b2≠0但a=0,故原命题是假命题.
答案:假
6.(2022·大连高二检测)将命题“m>1时,不等式mx2-2(m+1)x+(m-3)>0的解集为R”写成“若p,则q”的形式为 _____________________________________.
【解析】原命题条件:m>1,结论为:不等式mx2-2(m+1)x+(m-3)>0的解集为R,故可写为“若m>1,则mx2-2(m+1)x+(m-3)>0的解集为R”.
答案:若m>1,则mx2-2(m+1)x+(m-3)>0的解集为R
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.推断下列命题的真假,并说明理由:
(1)函数y=ax是指数函数.
(2)关于x的方程ax+1=x+2有惟一解.
【解题指南】(1)依据指数函数的定义推断,留意底数的取值范围.
(2)留意对参数进行分类争辩.
【解析】(1)当a>0且a≠1时,函数y=ax是指数函数,所以是假命题.
(2)关于x的方程ax+1=x+2即(a-1)x=1,当a=1时,方程无解;当a≠1时,方程有惟一解,所以是假命题.
8.推断“函数f(x)=2x-x2有三个零点”是否为命题.若是命题,是真命题还是假命题?说明理由.
【解析】这是可以推断真假的陈述句,所以是命题,且是真命题.
函数f(x)=2x-x2的零点即方程2x-x2=0的实数根,也就是方程2x=x2的实数根,即函数y=2x,y=x2的图象的交点的横坐标,易知指数函数y=2x的图象与抛物线y=x2有三个交点,所以函数f(x)=2x-x2有三个零点.
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