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双基限时练(二十一)
一、选择题
1．若方程mx2－(1－m)x＋m＝0有两个不等实根，则m的取值范围是( )
A．－1≤m≤3
B．－1≤m≤3，且m≠0
C．－1<m<
D．－1<m<，且m≠0
解析 由题意可得
得－1<m<，且m≠0.
答案 D
2．若方程6x2＋mx＋1＝0有两个负数根，则m的取值范围是( )
A．[0,2] B．[2，＋∞)
C．[－2，2] D．[－2，0)∪(0,2]
解析 由题意得得m≥2.
答案 B
3．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是{x|<x<}，则a－b等于( )
A．－10 B．－14
C．－22 D．10
解析 ax2＋bx＋2＝0有两根，，则
又由不等式的形式可知a＝－12，b＝10，
故a－b＝－12－10＝－22.
答案 C
4．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x的不等式f(x)≤1的解集为( )
A．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)
B．[－3，－1]
C．[－3，－1]∪(0，＋∞)
D．[－3，＋∞)
解析 ∵f(－2)＝4－2b＋c＝0，
又f(－4)＝f(0)，即16－4b＋c＝c，得b＝4，c＝4.
∴f(x)＝
由f(x)≤1得，x>0或－3≤x≤－1.
答案 C
5．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，且α、β是方程f(x)＝0的两根且a<b，α<β，则a、b、α、β的大小关系是( )
A．a<α<b<β B．a<α<β<b
C．α<a<b<β D．α<a<β<b
解析 在同一坐标系内画出y＝(x－a)(x－b)与f(x)＝(x－a)(x－b)－2的图像可知答案为C.
答案 C
6．设x1，x2为方程2x2－4mx＋m＋1＝0的两个实根，则x＋x的最小值为( )
A. B．－
C．－1 D.
解析 由方程有两个实根，可知Δ＝16m2－4×2×(m＋1)≥0，得m≥1或m≤－，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4m2－(m＋1)，对称轴为m＝，
∴当m＝－时，x＋x取得最小值.
答案 D
二、填空题
7．函数y＝的定义域为________．
解析 由题意得log(4x2－3x)≥0，∴0<4x2－3x≤1，得－≤x<0或<x≤1.
答案 ∪
8．设不等式x2－(2m－1)x＋m－5<0对于x∈[－1,1]恒成立，则m的取值范围是________．
解析 由题意得
得即－3<m<.
答案
9．若不等式ax2－bx＋c>0的解集为，则对于系数a、b、c有下列结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a＋b＋c>0；⑤a－b＋c>0，其中正确结论的序号是________(把你认为正确的结论序号都填上)．
解析 由题可知a<0，ax2－bx＋c＝0有两根，2，由韦达定理＝，
∵a<0，∴b<0，又×2＝>0，
又a<0，∴c<0，故①②③均不对，
又当x＝－1时ax2－bx＋c<0，
故a＋b＋c<0，故④不对，⑤明显正确．
答案 ⑤
三、解答题
10．关于x的一元二次方程kx2＋(k－1)x＋k＝0有两个正实数根，求实数k的取值范围．
解 设f(x)＝kx2＋(k－1)x＋k，由题意，则k满足即解得0<k≤.
所以k的取值范围是.
11．设不等式mx2－2x－m＋1<0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．
解 设f(m)＝(x2－1)m－2x＋1，
由题意得即
得<x<.
∴x的取值范围是.
12．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)，若不等式(x－m)⊗(x＋m)<1对于任意实数x均成立，求m的取值范围．
解 由题意得：(x－m)⊗(x＋m)＝(x－m)(1－x－m)．
由(x－m)⊗(x＋m)<1恒成立，
得x2－x－(m2－m－1)>0恒成立．
∴Δ＝1＋4(m2－m－1)<0，得－<m<.
思 维 探 究
13．已知不等式x2＋px＋1>2x＋p.
(1)假如不等式当|p|≤2时恒成立，求x的取值范围；
(2)假如不等式当2≤x≤4时恒成立，求p的取值范围．
解 (1)不等式化为(x－1)p＋x2－2x＋1>0，
令f(p)＝(x－1)p＋x2－2x＋1，
则f(p)的图像是一条直线．
又∵|p|≤2，∴－2≤p≤2，于是得
即
即
∴x>3或x<－1.
故x的取值范围是x>3或x<－1.
(2)不等式可化为(x－1)p>－x2＋2x－1，
∵2≤x≤4，∴x－1>0.∴p>＝1－x.
由于不等式当2≤x≤4时恒成立，
∴p>(1－x)max.而2≤x≤4，
∴(1－x)max＝－1，于是p>－1.
故p的取值范围是p>－1.
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