资源描述
其次节 一元二次不等式及其解法
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．(2022·大纲全国卷)不等式组的解集为( )
A．{x|－2<x<－1} B．{x|－1<x<0}
C．{x|0<x<1} D．{x|x>1}
解析
由①得，x<－2或x>0，
由②得，－1<x<1，
因此原不等式组的解集为{x|0<x<1}，故选C.
答案 C
2．已知集合A＝{x∈R||lg|x||≤1}，B＝{x∈Z|x2－2x－8<0}，则A∩B＝( )
A．(－2，－)∪(，4) B．(－2,0)∪(0,4)
C．{－1,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
解析 －1<lg|x|<1，<|x|<10，
∴－10<x<－或<x<10.
A＝{x|－10<x<－，或<x<10}
B＝{x|－2<x<4，x∈Z}＝{－1,0,1,2,3}
A∩B＝{－1,1,2,3}，选C.
答案 C
3．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集是( )
A．(2,3)
B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C.
D.∪
解析 由题意，知－，－是方程ax2－bx－1＝0的根，所以由根与系数的关系，得－＋＝，－×＝－.解得a＝－6，b＝5，不等式x2－bx－a＜0即为x2－5x＋6＜0，解集为(2,3)，故选A.
答案 A
4．若函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图象恒在x轴上方，则a的取值范围是( )
A．[1,19] B．(1,19)
C．[1,19) D．(1,19]
解析 函数图象恒在x轴上方，即不等式(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3>0对于一切x∈R恒成立．
(1)当a2＋4a－5＝0时，有a＝－5或a＝1.若a＝－5，不等式化为24x＋3>0，不满足题意；若a＝1，不等式化为3>0，满足题意．
(2)当a2＋4a－5≠0时，应有
解得1<a<19.
答案 C
5．不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝f(－x)的图象为图中的( )
解析 由根与系数的关系知＝－2＋1，－＝－2，得a＝－1，c＝－2.f(－x)＝－x2＋x＋2的图象开口向下，由－x2＋x＋2＝0，得两根分别为－1和2.
答案 B
6．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，当x∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是( )
A．－1<b<0 B．b>2
C．b<－1或b>2 D．不能确定
解析 由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的对称轴为直线x＝1，则有＝1，故a＝2.
又f(x)的图象开口向下，
∴f(x)在[－1,1]上为增函数．
∴f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，
∴b2－b－2>0，
解得b<－1或b>2.
答案 C
二、填空题
7．假如函数f(x)＝(x＋1)(1－|x|)的图象恒在x轴上方，则x的取值集合为________．
解析 由题意可将问题转化为解不等式(x＋1)(1－|x|)>0，由或解得－1<x<1或x<－1.
答案 {x|x<－1或－1<x<1}
8．已知函数f(x)＝则满足不等式f(x2－4)≤f(3x)的x的取值范围是________．
解析 作出函数f(x)＝的图象知，函数f(x)在R上是增函数，则由f(x2－4)≤f(3x)可得x2－4≤3x，解得－1≤x≤4.
答案 [－1,4]
9．已知函数f(x)与g(x)的图象关于直线x＝2对称，若f(x)＝4x－15，则不等式≥0的解集是________．
解析 若f(x)＝4x－15，
则g(x)＝f(4－x)＝4×(4－x)－15＝1－4x，
故不等式≥0等价于≥0，
即(x－1)(x＋1)(4x－1)≤0(x≠1，且x≠－1)
解得x<－1或≤x<1.
答案 (－∞，－1)∪
三、解答题
10．(2021·湖北黄州月考)已知函数f(x)＝的定义域为A，
(1)求A；
(2)若B＝{x|x2－2x＋1－k2≥0}，且A∩B≠∅，求实数k的取值范围．
解 (1)由
解得－3<x<0或2<x<3，∴A＝(－3,0)∪(2,3)．
(2)x2－2x＋1－k2≥0，
∴当k≥0时，x≥1＋k或x≤1－k，
当k<0时，x≥1－k或x≤1＋k，
∵A∩B≠∅，
∴或
或或
∴k∈[－4,4]．
11．已知抛物线y＝(m－1)x2＋(m－2)x－1(x∈R)．
(1)当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？
(2)若关于x的方程(m－1)x2＋(m－2)x－1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m的取值范围．
解 (1)依据题意，m≠1且Δ>0，
即Δ＝(m－2)2－4(m－1)(－1)>0，
得m2>0，所以m≠1且m≠0.
(2)在m≠0且m≠1的条件下，
由于＋＝＝m－2，
所以＋＝2－＝(m－2)2＋2(m－1)≤2.
得m2－2m≤0，所以0≤m≤2.
所以m的取值范围是{m|0<m<1或1<m≤2}．
1．函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f(2－x)>0的解集为( )
A．{x|x>2或x<－2} B．{x|－2<x<2}
C．{x|x<0或x>4} D．{x|0<x<4}
解析 由题意可知f(－x)＝f(x)，即(－x－2)·(－ax＋b)＝(x－2)(ax＋b)，(2a－b)x＝0恒成立，故2a－b＝0，即b＝2a，则f(x)＝a(x－2)(x＋2)．又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a>0.f(2－x)>0，即ax(x－4)>0，解得x<0或x>4.故选C.
答案 C
2．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是( )
A. B.
C．(1，＋∞) D.
解析 由Δ＝a2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0，解得a>－，故a的取值范围为.
答案 A
3．关于x的不等式ax2－|x＋1|＋3a≥0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
解析 由题意得a≥max.令y＝，
则当x≥－1时，y＝.
由y′＝＝0，得x＝1，所以当－1≤x<1时，y′>0，y<，当x>1时，y′<0，y<，因此当x≥－1时，ymax＝.
同理，当x<－1时，y＝－.由y′＝＝0，得x＝－3，所以当－3<x<－1时，y′<0，y<，当x<－3时，y′>0，y<，因此当x<－1时，ymax＝.
综上，当x∈R时，ymax＝f(1)＝，即a≥.
答案
4．已知函数f(x)＝lnx－x＋－1，g(x)＝－x2＋2bx－4，若对任意x1∈(0,2)，x2∈[1,2]，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，求实数b的取值范围．
解 问题等价于f(x)min≥g(x)max.由于f(x)＝lnx－x＋－1，所以f′(x)＝－－＝，由f′(x)>0，得x2－4x＋3<0，解得1<x<3，故函数f(x)的单调递增区间是[1,3]，单调递减区间是(0,1]和[3，＋∞)，故在区间(0,2)上，x＝1是函数的微小值点，这个微小值点是唯一的，故也是最小值点，所以f(x)min＝f(1)＝－.由于函数g(x)＝－x2＋2bx－4，x∈[1,2]，当b<1时，g(x)max＝g(1)＝2b－5；当1≤b≤2时，g(x)max＝g(b)＝b2－4；当b>2时，g(x)max＝g(2)＝4b－8.
故问题等价于
或或
解第一个不等式组，得b<1，解其次个不等式组，得1≤b≤，第三个不等式组无解．
综上所述，b的取值范围是.
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
