2021广东省高考压轴卷-文科数学-Word版含答案.docx

<p>KS5U2021广东省高考压轴卷文科数学

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
参考公式：球的表面积公式，其中是球的半径．
锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，为锥体的高．
线性回归方程中系数计算公式为，．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，，则
A． B． C． D．
2．函数的定义域是
A． &nbsp; B． C． D．
3．若复数，，则复数的模是
A． B． C． D．
4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是
A． B． C． D．
5．已知平面对量，，且，则
A． &nbsp; &nbsp; B． C． D．
6．椭圆的实轴长是
A．2 B．3 C．4 D．6
7．经过坐标原点，且与圆相切于第四象限的直线方程是
A． B． C． D．

8．阅读如图所示的程序框图，若输入，则输出等于
A．4 B．9 C．16 D．25
否
是

输入m
输出S
结束
S=0,i=1
S=S+i
i=i+2
i&lt;m
开头

正视图
1
侧视图
俯视图
1
1

第7题图
第8题图
9．某几何体的三视图如图所示，它的表面积为
A． B． C． D．
10．设函数，则
A．为的微小值点 B．为的极大值点
C．为的微小值点 D． 为的极大值点
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11～13题）
11．已知是递增等差数列，，且，，成等比数列，则此数列的公差_________．
12．已知变量，满足约束条件则的最小值为_________．
13．已知分别是的三个内角所对的边，若，，，则_________．
B

P
A
C
（二）选做题（14-15小题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线经过圆的圆心且与直线平行，则直线与极轴的交点的极坐标为_________．
15．（几何证明选讲选做题）如图，过圆外一点作圆的切线（为切点），再作割线依次交圆于，．若，，，则________．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数的最大值为，且最小正周期为．
（1）求的解析式；
（2）若,,求的值．

17．（本小题满分13分）
甲、乙两人在2021年1月至5月的纯收入（单位：千元）的数据如下表：
月份
1
2
3
4
5
甲的纯收入
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
乙的纯收入
2.8
3.4
3.8
4.5
5.5
（1）由表中数据直观分析，甲、乙两人中谁的纯收入较稳定?
（2）求关于的线性回归方程，并猜想甲在6月份的纯收入；
（3）现从乙这5个月的纯收入中，随机抽取两个月，求恰有1个月的纯收入在区间中的概率．

18．（本小题满分14分）
如图，直三棱柱中，，为中点，为上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，求三棱锥的体积．
E
C
A
C1
A1
B1
B
D

19．（本小题满分13分）
设数列的前项和为，且满足,．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.

20．（本小题满分14分）
设，抛物线方程为．如图所示，过焦点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过点．
（1）求满足条件的抛物线方程；
（2）过点作抛物线的切线，若切点在其次象限，求切线的方程；
x
C
G
F
y
O

21．（本小题满分14分）
已知函数．
（1）争辩函数的单调区间；
（2）当时，若函数在区间上的最大值为，求的取值范围． &nbsp;

KS5U2021广东省高考压轴卷
数学（文科）试题参考答案及评分标准
一、选择题
1．【KS5U答案】A
【KS5U解析】．
2．【KS5U答案】B
【KS5U解析】∵，∴，∴函数的定义域是．
3．【KS5U答案】A
【KS5U解析】∵，∴复数的模是．
4．【KS5U答案】C
【KS5U解析】A是奇函数但不是增函数；B既不是奇函数也不是偶函数；C既是奇函数又是增函数；D是偶函数．
5．【KS5U答案】D
【KS5U解析】 ∵，∴，∴．
6．【KS5U答案】D
【KS5U解析】实轴长．
7．【KS5U答案】B
【KS5U解析】依题意，设所求直线方程为，即，∵圆心到直线的距离为，解得或（舍去），∴所求直线方程是是．
8．【KS5U答案】C
【KS5U解析】依据程序框图，．
9．【KS5U答案】B
【KS5U解析】依据三视图，该几何体为个球，半径为1．∴它的表面积为．
10．【KS5U答案】C
【KS5U解析】 由，得，又时，，时，，∴在时取得微小值．
二、填空题
11．【KS5U答案】4
【KS5U解析】依题意，成等比数列，∴，解得（舍去）或．
12．【KS5U答案】2
【KS5U解析】如图，作出可行域，当目标函数直线经过点A时取得最大值．由解得，∴．
x
y
O
A

13．【KS5U答案】
【KS5U解析】由余弦定理得 ，∵，，∴ ，∴由正弦定理得．
14．【KS5U答案】
【KS5U解析】化为直角坐标方程，圆心为，化为直角坐标方程，∴直线方称为，直线与极轴的交点的极坐标为．
15．【KS5U答案】8
【KS5U解析】由切割线定理可得，∴．∵∽，∴，∴．
三、解答题
16．解：（1）∵的最大值为，
∴ ………………………………………………………………………………………………2分
∵的最小正周期为
∴
又
∴ ………………………………………………………………………………………………4分
∴ ……………………………………………………………………………………5分
（2）∵
∴ ………………………………………………………………………………………………7分
又
∴ …………………………………………………………9分
∴
………………………………………………………………………12分
17．解：（1）由表中数据可知，甲的纯收入比乙的纯收入集中，故甲的纯收入较稳定．……………2分
（2）∵，
，
，

∴，…………………………………………………………5分
． ……………………………………………………………6分
∴所求回归方程为. ……………………………………………………………7分
令，得，
∴猜想甲在6月份的纯收入为5.27千元．……………………………………………………………8分

（3）现从乙这5个月的纯收入中，随机抽取两个月的基本大事有： ，，，，，，，，，，共10种 …………………………………………………10分
记“恰有1个月的纯收入在区间中”为大事，其中有：，，，，，，共6种 ………………………………………………………………………………………12分
∴恰有1个月的纯收入在区间中的概率为………………………………13分
18．（1）证明：∵是直三棱柱
∴
又
∴ ………………………………………………………………………………………………2分
∵，
∴∽
∴
即………………………………………………………………………………………………4分
又
∴……………………………………………………………………………………6分
（2）

…………………………………………………………………………………9分
∵
∴为三棱锥的高…………………………………………………………………………10分
∴

……………………………………………………………………………………………13分
19．解：（1）∵①
∴当时，② …………………………………………………………2分
①-②得
∴ …………………………………………………………………………………………4分
∵时，得，∴，符合上式 ………………………………………………5分

∴数列的通项公式为 ………………………………………………………………6分
（2）∵ ……………………………………………………………………7分
∴③ …………………………………………………………………………8分
∴④ ……………………………………………………………………9分
④-③得
…………………………………………………………12分
∴ ………………………………………………………………………………13分
20．解：（1）由得，
当得，点的坐标为，……………………………………………………2分
，，
过点的切线方程为即，…………………………………………………5分
令得，
∴即，即抛物线的方程为…………………………………………………7分
（2）设切点．由，知抛物线在点处的切线斜率为，…………9分
∴所求切线方程，
即 ． ……………………………………………………………………………11分
∵点在切线上，
∴，
∴（舍去）或． …………………………………………………………13分
∴所求切线方程为． ……………………………………………………………14分
21．解：（1）．…………………………………………………………………1分
①时，，在上单调递增；
②时，．
令，得，．
∴时，；时，；时，．
∴在，上单调递增；在上单调递减．…………………………7分
（2）当时，

令得 ……………………………………………………………………8分
将，，变化状况列表如下：

2

0

0

↗
极大
↘
微小
↗
…………………………………………………………………………………………………………10分
由此表可得
， …………………………………………11分
又 ……………………………………………………………………………………12分
故区间内必需含有，即的取值范围是． ………………………………14分</p>