2021高考数学三轮冲刺-三角函数课时提升训练(6).docx

三角函数课时提升训练（6）

评卷人
得分

一、简答题

（每空？ 分，共？ 分）

1、已知<<<，
(1)求的值.
（2）求.
2、已知函数.
(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ) 求f(x)在区间上的最大值和最小值. 
3、已知，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的值域．
4、对于定义域分别为的函数，规定：
函数
(1)  若函数,求函数的取值集合；
(2)  若，其中是常数，且，请问，是否存在一个定义域为的函数及一个的值，使得，若存在请写出一个的解析式及一个的值，若不存在请说明理由。
5、已知向量 与 共线，设函数。
   （Ⅰ）求函数的周期及最大值；
   （Ⅱ）已知锐角 △ABC 中的三个内角分别为 A、B、C，若有，边 BC＝，，求 △ABC 的面积．
6、已知函数，其最小正周期为
（I）求的表达式；
（II）将函数的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围.
7、已知向量，，函数．
（1）求的最大值，并求取最大值时的取值集合；
（2）已知..分别为内角..的对边，且，，成等比数列，角为锐角，且，求的值．
8、已知函数，
（1）求函数的最大值和最小正周期；
（2）设的内角的对边分别且,，若，求的值．
9、若函数对任意的实数，，均有，则称函数
是区间上的“平缓函数”. 
(1) 推断和是不是实数集R上的“平缓函数”，并说明理由；
(2) 若数列对全部的正整数都有 ，设,
求证： .
10、假如函数的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”．
（1）推断函数是否具有“性质”，若具有“性质”求出全部的值；若不具有“性质”，请说明理由．
（2）已知具有“性质”，且当时，求在上的最大值．
（3）设函数具有“性质”，且当时，．若与交点个数为2021个，求的值．
11、在中，分别为角的对边，向量，且．
（Ⅰ）求角的大小； 
（Ⅱ）若，求的值．
12、已知函数（其中）的图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到
原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的对称轴方程；
（3）当时，方程有两个不等的实根，，求实数的取值范围，
并求此时的值.
13、已知，．
记（其中都为常数，且）． 
（Ⅰ）若，，求的最大值及此时的值；
（Ⅱ）若，①证明：的最大值是；
②证明：．
14、已知函数
（1）若函数的图像关于点对称，且，求的值；
（2）设若的充分条件，求实数的取值范围
15、如图，某市预备在道路EF的一侧修建一条运动竞赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数 ，时的图象，且图象的最高点为B（－1，2）。赛道的中间部分为长千米的直线跑道CD，且CD// EF。赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧．
（1）求的值和的大小；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且，求当“矩形草坪”的面积取最大值时的值．
16、已知向量，，函数.
(1)求的最小正周期；
(2)已知，，分别为内角，，的对边，为锐角，，，且恰是在，上的最大值，求，和的面积.
17、已知函数
（1）在锐角中，，，分别是角，，的对边；若，  sin（AC）=sinC，求的面积．
（2）若，求的值；
18、已知函数 （，，）。的部分图象如右图所示，点为图象的最高点。
⑴求的最小正周期及的值；
⑵若，且（），求当取什么值（用集合表示）时，函数有最大值和函数的单调增区间。

19、已知函数．
(Ⅰ)求函数的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）已知内角的对边分别为，且，若向量与共线，求的值．
20、关于函数有下列命题：
　　⑴为偶函数　
⑵要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位。
⑶的图象关于直线对称　
⑷在［］内的增区间为
其中正确命题的序号为_____
评卷人
得分

二、选择题

（每空？ 分，共？ 分）

21、方程有且仅有两个不同的实数解，则以下有关两根关系的结论正确的是（     ）
A．      B． 
  C．       D．    
22、若函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，分别是这段图象的最高点和最低点，且，则（      ）
A．           B．      C．              D．

23、当时，函数的最小值是                                           （    ）
       A．          B．       C．2        D．1
24、定义一种运算，将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是（    ）
A．               B．             C．            D．
25、给定实数集合满足（其中表示不超过的最大整数，），，则（    ）
       A．    B．    C．    D．
26、下列关于函数的单调性的叙述，正确的是                                                                                       
A  在上是增函数，在 上是减函数 
B在上是增函数，在 及上是减函数   
C在上是减函数，在 上是增函数    
D在 及上是增函数，在上是减函数
评卷人
得分

三、填空题

（每空？ 分，共？ 分）

27、设为坐标平面内一点，O为坐标原点，记f（x）=|OM|，当x变化时，函数 f（x）的最小正周期是       
28、函数为上的奇函数，该函数的部分图像如下图所表示，
、分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，现有下面的3个命题：
（1）函数的最小正周期是；
（2）函数在区间上单调递减；
（3）直线是函数的图象的一条对称轴。
其中正确的命题是                .
29、给出下列命题：
① 存在实数使得②若为第一象限角且，则  ③函数的最小正周期为 ，④  函数是奇函数  ⑤函数的图像向左平移个单位，得到的图像。其中正确命题的序号是                  (把你认为正确的序号都填上)
30、 (理科)三个数a、b、c∈(0,)，且cosa=a，sin(cosb)=b，cos(sinc)=c，则a、b、c从小到大的挨次是________________.
31、设动直线与函数和的图象分别交于两点，则的最大值为            
32、如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动。设顶点的轨迹方程是，则在其两个相邻零点间的图像与轴所围区域的面积为              。

33、设，则函数(的最小值是_________.
34、设，满足，则函数在上的最大值为________.
35、若函数,对任意都使为常数,则正整数为________ 
评卷人
得分

四、计算题

（每空？ 分，共？ 分）

36、已知函数，在时的最大值是。
    （1）求的值；          
   （2）当时，求函数的值域；
（3）若点是图象的对称中心，且，求点A的坐标．
37、设， 定义一种向量的运算：，点P（x，y）在函数的图像上运动，点Q在的图像上运动，且满足（其中O为坐标原点）
       （1）求函数f（x）的解析式；
       （2）若函数值域为，求a，b的值。
38、设是某平面内的四个单位向量，其中⊥与的夹角为45°，对这个平面内的任一个向量，规定经过一次“斜二测变换”得到向量。设向量，是经过一次“斜二测变换”得到的向量是                      （    ）
A．5                     B．                        C． 73                  D．
39、已知函数.
（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围；
（2）若函数的图像与直线有且仅有三个公共点，且公共点的横坐标的最大值为，求证：.
40、设，函数的定义域为且，当时有
   （1）求；
   （2）求的值；
（3）求函数的单调区间．

参考答案

一、简答题

1、解：（1）由，得
∴，于是
（2）由，得
又∵，∴
由得：

所以
2、
3、解：（Ⅰ）由于，且，
所以，．
由于

所以．                             ……………………6分
         （Ⅱ）由于

                        ，．
                由于，所以，当时，取最大值；
当时，取最小值．
所以函数的值域为．              …………………13分
4、.解（1）由函数
          可得
          从而           ……………………………………………..2分
          当时， …………………….4分
         当时， …………….6分
         所以的取值集合为          …………………………….7分
（2）由函数的定义域为，得的定义域为
     所以，对于任意,都有
     即对于任意,都有
     所以，我们考虑将分解成两个函数的乘积，而且这两个函数还可以通过平移相互转化

     所以，令，且，即可    ………………………………..14分
    又
    所以，令，且，即可（答案不唯一）
5、解（1）由于，所以

（2）

┄┄┄┄┄┄┄┄14分
6、解：（I）
           ……………3分
由题意知的最小正周期，
所以  ……………………………………………………………………5分
所以     ………………………………………………6分
（Ⅱ）将的图象向右平移个个单位后，得到的图象，再将所得图       
象全部点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象.
所以                     …………………………9分
由于,所以
在区间上有且只有一个实数解，即函数与在区间上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知或    
所以或.
7、2
8、解析：（1）……………．3分
        则的最大值为0，
        最小正周期是………………………………………………6分
     （2）则

       由正弦定理得①………………………………9分
       由余弦定理得
       即②
      由①②解得    ………………………………………12分
9、当时，同理有成立
又当时，不等式，
故对任意的实数，R,均有.
因此 是R上的“平缓函数”.                         …………… 5分
由于                         …………… 6分
取，，则，                …………… 7分
因此， 不是区间R的“平缓函数”.                  …………… 8分

10、解：（1）由得，依据诱导公式得．具有“性质”，其中．
………………4分
（3）具有“性质”，，，
，从而得到是以2为周期的函数．
又设，则，
．
再设（），
当（），则，
；
当（），则，；
对于，（），都有，而，，是周期为1的函数．

11、（Ⅰ） 或  ；  （Ⅱ）或。
解：（1）

   ,                          …………………………4分
由于
所以 或                                      …………………………6分
（2）在中，由于b<a，所以                  …………………………8分
由余弦定理
得                                        ………………………10分                                 
所以或，                                     …………………………12分
12、解:（1）由图知，.         --------1分
，  -----2分
由，即，故，所以
又，所以  ----3分
故    -------4分
     （2）将的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的倍，
纵坐标不变，得到的图象，
所以    -------6分
         令，--------7分
则()，所以的对称轴方程为()   -8分
     （3）∵   ∴      --------9分
 ∴ 当方程有两个不等实根时，的图象与直线有两个不同的交点
∴       --------11分
∴     --------12分
（法一）当时，，所以
        所以
（法二）令 ，则，()
                  所以的对称轴方程为，()
                  又∵    ∴ ， 所以      --14分         
13、解：（Ⅰ）若时，

则，此时的；
（Ⅱ）证明：

令，记  
则其对称轴
①当，即时，
当，即时，
故 -  -11分
②即求证，
其中   
当，即时，
当，即时，

当，即时，

综上：           
14、
15、
16、
…………5分
由于，所以

17、解：

(1).
,所以.
又由于,所以,所以,即.--4分
又由于sin（AC）=sinC,即sinB=sinC，由正弦定理得，
又.                                        

（2），则
，---11分

18、解：⑴  所以的最小正周期是：               
    点在曲线上，得即          

⑵若得                            

  当时，即时，函数有最大值。     
  由时，即时，单调递增。                                                              
因此，当函数有最大值。
函数的单调增区间是：             
19、
20、（2）（3）
二、选择题

21、【答案】A
【解析】解：依题意可知x＞0（x不能等于0）
令，，然后分别做出两个函数的图象．
由于原方程有且只有两个解，所以与仅有两个交点，而且其次个交点是与相切的点，即点（θ，|sinθ|）为切点，由于（sinθ）′=cosθ，所以切线的斜率k=cosθ．而且点（φ，sinφ）在切线上．于是将点（φ，sinφ）代入切线方程可得：sinφ=φcosθ．
22、C
23、D
24、C
25、A
26、B
三、填空题

27、15 
28、
29、③、④
30、b<a<c(理)
31、3
32、
33、
34、2
35、 3
四、计算题

36、解：（1）……………1分
由于函数在时的最大值是，所以
解出；……………3分
所以   ……………5分
（2）……………………………………………………7分
       由，得 ，则……………9分
       则
所以值域为 ………10分
 (3)∵，………11分
∴令，得，………12分
∴ (k∈Z)，
由 (k∈Z)，得k＝0或k＝1，………14分
因此点A的坐标为或。………15分
37、解：（1）设
则由      （2分）
即             （5分）
即                     （6分）
（2）
       =             （8分）
       =                                    （10分）
                         （12分）
       当时，                  （14分）
       当时，                   （16分）
38、A
39、解：（1）依据图像可知，我们只需要考虑，此时
所以
当时，，易知函数单调增，从而，符合题意；
当，，函数单调减，从而，不符合题意；
当时，明显存在，使得，且时函数单调减，从而，不符合题意.
综上争辩知.  ………………………………………………………………6分
（2）的图像与直线有且仅有三个公共点时如图所示，且在内相切，其切点为，
由于，，
则
故.……………12分
40、解：（1）；

   （2）

       或或1
       又   ，．
   （3）
              时，单调递减，
              时，单调递增；
       解得：
              时，单调递减，
              时，单调递增．