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1．(2021·石家庄模拟)某城市要建设宜商、宜居的国际化现代新城，该城市的东城区、西城区分别引进8个厂家，现对两个区域的16个厂家进行评估，综合得分状况如茎叶图所示.
东
西
9
9
8
7
2
9
9
8
8
8
1
3
4
5
4
3
9
4
4
(1)依据茎叶图推断哪个区域厂家的平均分较高；
(2)规定85分以上(含85分)为优秀厂家，若从该两个区域各选一个优秀厂家，求得分差距不超过5的概率．
解 (1)东城区的平均分较高．
(2)从两个区域各选一个优秀厂家，则全部的基本大事共15种，满足得分差距不超过5的大事为(88,85)，(88,85)，(89,85)，(89,94)，(89,94)，(93,94)，(93,94)，(94,94)，(94,94)，共9种，所以满足条件的概率为＝.
2．甲、乙两校各有3名老师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的老师中各任选1名，写出全部可能的结果，并求选出的2名老师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名老师中任选2名，写出全部可能的结果，并求选出的2名老师来自同一学校的概率．
解 (1)甲校两男老师分别用A，B表示，女老师用C表示；乙校男老师用D表示，两女老师分别用E，F表示．
从甲校和乙校报名的老师中各任选1名的全部可能的结果为(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种．
从中选出的两名老师性别相同的结果有(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种．
故选出的两名老师性别相同的概率为P1＝.
(2)从甲校和乙校报名的老师中任选2名的全部可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．
从中选出的两名老师来自同一学校的结果有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种．
故选出的两名老师来自同一学校的概率为P2＝＝.
3．(2022·福建卷)依据世行2021年新标准，人均GDP低于1 035美元为低收入国家；人均GDP为1 035～4 085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为
4 085～12 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12 616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：
行政区
区人口占城市人口比例
区人均GDP(单位：美元)
A
25%
8 000
B
30%
4 000
C
15%
6 000
D
10%
3 000
E
20%
10 000
(1)推断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；
(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．
解 (1)设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为
＋
＝6 400.
由于6 400∈[4 085,12 616)，
所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准．
(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的全部的基本大事是{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10个．
设大事“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M，则大事M包含的基本大事是{A，C}，{A，E}，{C，E}，共3个，所以所求概率为P(M)＝.
4．(2021·广州综合测试)某校高三班级一次数学考试之后，为了解同学的数学学习状况，随机抽取n名同学的数学成果，制成如表所示的频率分布表.
组号
分组
频数
频率
第一组
[90,100)
5
0.05
其次组
[100,110)
a
0.35
第三组
[110,120)
30
0.30
第四组
[120,130)
20
b
第五组
[130,140)
10
0.10
合计
n
1.00
(1)求a，b，n的值；
(2)若从第三、四、五组中用分层抽样方法抽取6名同学，并在这6名同学中随机抽取2名与张老师面谈，求第三组中至少有1名同学与张老师面谈的概率．
解 (1)依题意，得＝0.05，＝0.35，＝b，
解得n＝100，a＝35，b＝0.2.
(2)由于第三、四、五组共有60名同学，用分层抽样方法抽取6名同学，则第三、四、五组分别抽取×6＝3(名)，×6＝2(名)，×6＝1(名)．
第三组的3名同学记为a1，a2，a3，第四组的2名同学记为b1，b2，第五组的1名同学记为c1，则从6名同学中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{a1，a2}，{a1，a3}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a1，c1}，{a2，a3}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a2，c1}，{a3，b1}，{a3，b2}，{a3，c1}，{b1，b2}，{b1，c1}，{b2，c1}．
其中第三组的3名同学没有一名同学被抽取的状况共有3种，具体如下：{b1，b2}，{b1，c1}，{b2，c1}．故第三组中至少有1名同学与张老师面谈的概率为1－＝0.8.
5．(2022·山东卷)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
解 (1)由于样本容量与总体中的个体数的比是＝，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：
50×＝1,150×＝3,100×＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2.
则从6件样品中抽取的这2件商品构成的全部基本大事为：
{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本大事的消灭是等可能的．
记大事D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，
则大事D包含的基本大事有
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．
所以P(D)＝，即这2件商品来自相同地区的概率为.
6．某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为争辩工人的日平均生产量是否与年龄有关，现接受分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你依据已知条件完成2×2列联表，并推断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
附：χ2＝
P(χ2≥k0)
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
解 (1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．
所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；
25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.
从中随机抽取2名工人，全部可能的结果共有10种，他们是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．其中，至少有一名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率为P＝.
(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375＝15(人)，因此可列2×2的列联表如下：
生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上组
15
45
60
25周岁以下组
15
25
40
合计
30
70
100
所以得χ2＝
＝＝≈1.79.
由于1.79<2.706.所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.
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