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第2讲 解三角形问题
一、选择题
1．(2022·西安模拟)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
asin Asin B＋bcos2 A＝a，则＝ ( )．
A. B．2
C. D．2
解析 由于asin Asin B＋bcos2 A＝a，所以由正弦定理，得sin Asin Asin B＋sin B＝sin A，即sin B＝sin A，所以＝.
答案 A
2．(2022·益阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若asin A＋bsin B－csin C＝asin B，则角C等于 ( )．
A. B．
C. D．
解析 由正弦定理，得a2＋b2－c2＝ab，
所以cos C＝＝，又0＜C＜π，所以C＝.
答案 A
3．(2022·吉林省试验中学一模)在△ABC中，sin(A＋B)·sin(A－B)＝sin2C，则此三角形的外形是 ( )．
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析 由于sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2 C，所以sin (A－B)＝sin C，又由于A，B，C为△ABC的内角，所以A－B＝C，所以A＝90°，所以△ABC为直角三角形．
答案 B
4．(2022·福州模拟)在△ABC中，BC＝1，B＝，△ABC的面积S＝，则sin C＝ ( )．
A. B．
C. D．
解析 由于在△ABC中，BC＝1，B＝，△ABC的面积S＝，所以S△ABC＝BC×BAsin B＝，即×1×BA×＝，解得BA＝4.又由余弦定理，得AC2＝BC2＋BA2－2BC·BAcos B，即得AC＝，由正弦定理，得＝，解得sin C＝.
答案 D
5．(2022·重庆卷)已知△ABC的内角A，B，C满足sin 2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式肯定成立的是 ( )．
A．bc(b＋c)>8 B．ab(a＋b)>16
C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24
解析 由sin 2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋，
得2sin A·cos A＋sin(C－B)·cos A＋cos (C－B)·
sin A＝sin(C－B)·cos A－cos (C－B)·sin A＋，
即2sin A[cos A＋cos C·cos B＋sin C·sin B]＝，
即2sin A[－cos (B＋C)＋cos B·cos C＋sin C·sin B]＝，化简，
得sin A·sin B·sin C＝，
由面积公式，得＝，所以(abc)2＝64S3∈[64,512]，即abc∈[8,16 ]，从而可以排解选项C和D；对于选项A：bc(b＋c)>bca≥8，即bc(b＋c)>8，故A正确；对于选项B：ab(a＋b)＞abc≥8，即ab(a＋b)＞8，故B错误，故选A.
答案 A
二、填空题
6．(2022·福建卷)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．
解析 由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，
∴12＝AB2＋16－2×AB×4×cos 60°，解得AB＝2，
∴S△ABC＝·AB·AC·sin A＝×2×4×sin 60°＝2.
答案 2
7．(2022·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a,2sin B＝3sin C，则cos A的值为________．
解析 ∵2sin B＝3sin C，由正弦定理得2b＝3c，∴b＝c，
又b－c＝a，∴a＝4(b－c)，∴a＝2c.
∴cos A＝＝＝－.
答案 －
8．(2022·江苏卷)若△ABC的内角满足sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是________．
解析 ∵sin A＋sin B＝2sin C.
由正弦定理可得a＋b＝2c，即c＝，
cos C＝＝
＝≥＝，
当且仅当3a2＝2b2即＝时等号成立．
∴cos C的最小值为.
答案
三、解答题
9．(2022·北京卷)如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.
(1)求sin ∠BAD；
(2)求BD，AC的长．
解 (1)在△ADC中，由于cos∠ADC＝，
所以sin ∠ADC＝.
所以sin ∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)
＝sin ∠ADCcos∠B－cos∠ADCsin ∠B
＝×－×＝.
(2)在△ABD中，由正弦定理得
BD＝＝＝3.
在△ABC中，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B
＝82＋52－2×8×5×＝49.所以AC＝7.
10．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，B＝，b＝，求a＋c的范围．
解 法一 由B＝，得A＋C＝.
所以sin A＋sin C＝sin A＋sin＝sin A＋＝
sin A＋cos A＝
sin.又0＜A＜，所以＜A＋＜.
所以＜sin≤1.所以sin A＋sin C∈.
由正弦定理，得＝＝＝＝2，
所以a＋c＝2sin A＋2sin C＝2(sin A＋sin C)．
所以a＋c∈(，2]．
法二 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos ＝(a＋c)2－2ac＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－2＝，当且仅当a＝c时，取等号．
所以(a＋c)2≤4，故a＋c≤2.
又a＋c＞b＝，所以＜a＋c≤2，即a＋c∈(，2]．
11.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C. 现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲动身2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝.
(1)求索道AB的长；
(2)问：乙动身多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应把握在什么范围内？
解 (1)在△ABC中，由于cos A＝，cos C＝，
所以sin A＝，sin C＝.
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)
＝sin Acos C＋cos Asin C
＝×＋×＝.
由正弦定理＝，得
AB＝·sin C＝×＝1 040(m)．
所以索道AB的长为1 040 m.
(2)设乙动身t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，
所以由余弦定理得
d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×
＝200(37t2－70t＋50)，
因0≤t≤，即0≤t≤8，
故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短．
(3)由正弦定理＝，得BC＝·sin A＝×＝500(m)．
乙从B动身时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.
设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以为使两位游客在C处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应把握在(单位：m/min)范围内．
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