【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：8.8.docx

第八章 8.8 第8课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A45B60C90 D120答案B解析以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系设ABBCAA12，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，则(0，1,1)，(2,0,2)2，记，所成为则cos.EF和BC1所成角为60.2在直角坐标系中，A(2,3)，B(3，2)，沿x轴把直角坐标系折成120的二面角，则AB的长度为()A. B2C3 D4答案B解析设A、B在x轴上的射影分别为C、D，则AC3，BD2，CD5，又，所夹的角为60易求得|2.3如右图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于()A. B. C. D.答案B解析本题考查空间向量的运算设正方体的边长为2，建立如右图所示的坐标系，O(1,1,0)，E(0,2,1)，F(1,0,0)，D1(0,0,2)，(1,0,2)，(1,1,1)，cos .4已知二面角l的大小为60，m、n为异面直线，且m，n，由m、n所成的角为()A30 B60C90 D120答案B解析画出图形可得B正确5.如图所示，平面平面，A，B，AB与两平面、所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A、B，则AB:AB等于()A2:1 B3:1C3:2 D4:3答案A解析在RtABB中，ABABsinAB.在RtABA中，AAABsinAB.在RtAAB中，ABAB.AB:AB2:1.6.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若E、F分别是BC、DD1的中点，则B1到平面ABF的距离为()A. B.C. D.答案D解析建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B1(1,1,0)，设F(0,0，)，E(，1,1)，B(1,1,1)(0,1,0)，(，0,1)，(1,0，)(1,0，)(，0,1)0，又，平面ABF，平面ABF的法向量为(，0,1)，(0,1，1)B1到平面ABF的距离为.7等腰RtABC中，ABBC1，M为AC中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角CBMA的大小为()A30 B60C90 D120答案C解析如图，由ABBC1，ABC90，得AC.M为AC中点，MCAM，且CMBM，AMBM.CMA为二面角CBMA的平面角AC1，MCMA，CMA90.8已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为()A. B.C. D.答案C解析连结A1C1交B1D1于O点，由已知条件得C1OB1D1，且平面BDD1B1平面A1B1C1D1，所以C1O平面BDD1B1.连结BO，则BO为BC1在平面BDD1B1上的射影，C1BO即为所求，OC1A1C1AC2，BC12.通过计算得sinC1BO.9正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.答案D解析BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角，在三棱锥DACD1中，由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的垂心即中心H，连接D1H，DH，则DD1H为DD1与平面ACD1所成的角，设正方体棱长为a，则cos DD1H，故选D二、填空题10正四棱锥SABCD的侧棱长为，底面的边长为，E是SA的中点，则异面直线BE和SC所成的角等于_答案60解析建立如图所示空间直角坐标系，由于AB，SA，可以求得SO.B(，0)，A(，0)，C(，0)，S(0,0，)由于E为SA的中点，E(，)，(，)，(，)，1，|，|.cos，120.异面直线BE与SC所成的角为60.三、解答题11已知：正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点(1)求证：平面B1EF平面BDD1B1；(2)求点D1到平面B1EF的距离(1)证明建立如右图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2，2，0)，E(2，0)，F(，2，0)，D1(0,0,4)，B1(2，2，4)(，0)，(2，2，0)，(0,0,4)，0，0.EFDB，EFDD1，DD1BDD，EF平面BDD1B1.又EF平面B1EF，平面B1EF平面BDD1B1.(2)解析由(1)知(2，2，0)，(，0)，(0，4)设平面B1EF的法向量为n，且n(x，y，z)则n，n即n(x，y，z)(，0)xy0，n(x，y，z)(0，4)y4z0，令x1，则y1，z，n(1,1，)，D1到平面B1EF的距离d.12如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA平面ABCD，BCAD，CD1，AD2，BADCDA45.(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；(2)证明：CD平面ABF；(3)求二面角BEFA的正切值解析(1)由于四边形ADEF是正方形，所以FAED.故CED为异面直线CE与AF所成的角由于FA平面ABCD，所以FACD，故EDCD.在RtCDE中，CD1，ED2，CE3，故cosCED.所以异面直线CE与AF所成角的余弦值为.(2)过点B作BGCD，交AD于点G，则BGACDA45.由BAD45，可得BGAB.从而CDAB.又CDFA，FAABA，所以CD平面ABF.(3)由(2)及已知，可得AG.即G为AD的中点取EF的中点N，连接GN.则GNEF.由于BCAD，所以BCEF.过点N作NMEF，交BC于M，则GNM为二面角BEFA的平面角连接GM，可得AD平面GNM，故ADGM.从而BCGM.由已知，可得GM.由NGFA，FAGM，得NGGM.在RtNGM中，tanGNM.所以二面角BEFA的正切值为.13.如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，PAAB，ABC60，BCA90，点D，E分别在棱PB，PC上，且DEBC.()求证：BC平面PAC；()当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的余弦值；()是否存在点E使得二面角ADEP为直二面角？并说明理由解析解法一()PA底面ABC，PABC.又BCA90，ACBC，BC平面PAC，()D为PB的中点，DEBC，DEBC.又由()知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E，DAE是AD与平面PAC所成的角PA底面ABC，PAAB.又PAAB，ABP为等腰直角三角形，ADAB.在RtABC中，ABC60.BCAB，RtADE中，sinDAE，cosDAE.()DEBC，又由()知，BC平面PAC，DE平面PAC.又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP为二面角ADEP的平面角PA底面ABC，PAAC，PAC90，在棱PC上存在一点E，使得AEPC.这时，AEP90.故存在点E使得二面角ADEP是直二面角解法二如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz.设PAa，由已知可得A(0,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，P(0,0，a)()(0,0，a)，(a,0,0)，0，BCAP.又BCA90，BCAC，BC平面PAC.()D为PB的中点，DEBC，E为PC的中点，D(a，a，a)，E(0，a，a)又由()知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E，DAE是AD与平面PAC所成的角(a，a，a)，(0，a，a)，cosDAE. ()同解法一14.已知等腰直角三角形RBC，其中RBC90，RBBC2.点A、D分别是RB、RC的中点，现将RAD沿着边AD折起到PAD位置(1)求证：BCPB；(2)求二面角ACDP的余弦值解析(1)点A、D分别是RB、RC的中点，ADBC且ADBC.PADRADRBC90，PAAD又PAAB，DAABAPA面ABCD，PABCBCAB，PAABA，BC平面PAB.PB平面PAB，BCPB.(2)法一：取RD的中点F，连结AF、PF.RAAD1，AFRC.又由(1)知PA面ABCD，而RC平面ABCD，PARC.AFPAA，RC平面PAF.AFP是二面角ACDP的平面角在RtRAD中，AFRD，在RtPAF中，PF，cosAFP.二面角ACDP的余弦值是.法二：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则D(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,1)(1,1,0)，(1,0,1)，设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，则，令x1，得y1，z1，n(1,1，1)明显，是平面ACD的一个法向量(0,0，1)cosn，二面角ACDP的余弦值是.15.如图，在五棱锥PABCDE中，PA平面ABCDE，ABCD，ACED，AEBC，ABC45，AB2，BC2AE4，三角形PAB是等腰三角形(1)求证：平面PCD平面PAC；(2)求直线PB与平面PCD所成角的大小；(3)求四棱锥PACDE的体积解析(1)证明：在ABC中，由于ABC45，BC4，AB2，所以AC2AB2BC22ABBCcos 458，因此AC2，故BC2AC2AB2所以BAC90.又PA平面ABCDE，ABCD，所以CDPA，CDAC，又PA，AC平面PAC，且PAACA，所以CD平面PAC，又CD平面PCD，所以平面PCD平面PAC.(2)解法一：由于PAB是等腰三角形，所以PAAB2，因此PB4.又ABCD，所以点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离，由于CD平面PAC，在RtPAC中，PA2，AC2，所以PC4，故PC边上的高为2，此即为点A到平面PCD的距离设直线PB与平面PCD所成的角为，则sin ，又0，所以.解法二：由(1)知AB，AC，AP两两相互垂直，分别以AB、AC、AP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于PAB是等腰三角形，所以PAAB2，又AC2，因此A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(0,2，0)，P(0,0,2)，由于ACED，CDAC，所以四边形ACDE是直角梯形，由于AE2，ABC45，AEBC，所以BAE135，因此CAE45，故CDAEsin 452，所以D(，2，0)因此C(0，2，2)，C(，0,0)，设m(x，y，z)是平面PCD的一个法向量，则m0，m0，解得x0，yz，取y1，得m(0,1,1)，又(2，0,2)，设表示向量与平面PCD的法向量m所成的角，则cos ，所以，因此直线PB与平面PCD所成的角为.(3)由于ACED，CDAC，所以四边形ACDE是直角梯形，由于AE2，ABC45，AEBC，所以BAE135，因此CAE45，故CDAEsin 452，EDACAEcos 4522，所以S四边形ACDE3.又PA平面ABCDE，所以VPACDE322.拓展练习自助餐1.以等腰RtABC的斜边BC上的高AD为折痕，将ABC折起(如图)，使折起后的ABC恰好为等边三角形M为高AD的中点，则直线AB与CM所成角的余弦值为()A. B.C. D答案C解析设直角边ABAC2，则BC2.取BD中点N，连结MN，则MNAB，所以NMC即为所求MNAB1，MCNC，在NCM中，由余弦定理可得cosNMC.2在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A30B45 C60D90答案C解析如图是三棱柱ABCA1B1C1，不妨设各棱长为1.取BC的中点E，连接AE，DE，CC1底面ABC，侧面BB1C1C底面ABC，又E为BC的中点，且ABC为正三角形，AEBC，由两平面垂直的性质定理知，AE平面BB1C1C，ADE的大小就是AD与平面BB1C1C所成角的大小简洁计算ADE60.3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱AB上一点，过P点在空间作直线l，使l与面ABCD和ABC1D1均成30角，则这样的直线的条数为()A1 B2C3 D4答案B解析由于二面角C1ABC的大小为45，所以可在二面角内过棱上一点P作两条直线均能与平面ABCD和ABC1D1成30角4P是二面角AB棱上的一点，分别在、平面上引射线PM、PN，假如BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小为_答案90解析不妨设PMa，PNb，作MEAB于E，NFAB于F，如图：EPMEPN45，PEa，PFb，()()abcos60abcos45abcos45ab0，二面角AB的大小为90.另外，本题也可不用向量法，由二面角的定义求解5.如右图所示，ABCD是直角梯形，ABC90，SA底面ABCD，SAABBC1，AD.求面SCD与面SBA所成二面角的余弦值解析以A为坐标原点，BA、AD、AS所在直线分别为x、y、z建立如图所示的空间直角坐标系，则S(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0，0)(1,1，1)，.设平面SCD的法向量为n(x，y，z)n，n，n0，n0.即解得xz，y2z.令z1，则n(1,2,1)又平面SAB的法向量为，cosn，.由题意知，二面角为锐角，所以二面角的大小等于两法向量的夹角所求二面角的大小为arccos.6.如图，在平行四边形ABCD中，AB2BC，ABC120，E为线段AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成ADE，使平面ADE平面BCD，F为线段AC的中点(1)求证：BF平面ADE；(2)设M为线段DE的中点，求直线FM与平面ADE所成角的余弦值解析(1)取AD的中点G，连结GF，GE，由条件易知FGCD，FGCD，BECD，BECD，所以FGBE，FGBE，故四边形BEGF为平行四边形，所以BFEG.由于EG平面ADE，BF平面ADE，所以BF平面ADE.(2)在平行四边形ABCD中，设BCa，则ABCD2a，ADAEEBa，连CE，由于ABC120，在BCE中，可得CEa，在ADE中，可得DEa，在CDE中，由于CD2CE2DE2，所以CEDE，在正三角形ADE中，M为DE中点，所以AMDE.由平面ADE平面BCD，可知AM平面BCD，AMCE.取AE的中点N，连结NM，NF，所以NFDE，NFAM.由于DE交AM于M，所以NF平面ADE，则FMN为直线FM与平面ADE所成角在RtFMN中，NFa，MNa，FMa，则cosFMN，所以直线FM与平面ADE所成角的余弦值为.7.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CFAB2CE，ABADAA1124.(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)证明AF平面A1ED；(3)求二面角A1EDF的正弦值解析如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB1，依题意得D(0,2,0)，F(1,2,1)，A1(0,0,4)，E(1，0)(1)易得(0，1)，(0,2，4)于是cos，.所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为.(2)连接ED，易知(1,2,1)，(1，4)，(1，0)，于是0，0.因此，AFEA1，AFED.又EA1EDE，所以AF平面A1ED.(3)设平面EFD的一个法向量为u(x，y，z)，则即不妨令x1，可得u(1,2，1)由(2)可知，为平面A1ED的一个法向量于是cos，从而sin.所以二面角A1EDF的正弦值为.老师备选题1将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120的二面角，点C到达C1点，这时异面直线AD与BC1所成角的余弦值是()AB C.D.答案D解析如图，设正方形边长为1，则BCBC11.ADBC，CBC1就是异面直线AD与BC1所成的角在BC1C中，CC1，使用余弦定理，即可得出cosCBC1.2如图所示，已知四周体顶点A(2,3,1)，B(4,1，2)，C(6,3,7)和D(5，4,8)，求从顶点D所引的四周体的高h_.答案11解析由题意知(2，2，3)，(4,0,6)，(7,7，7)设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则由n0及n0得令z2，则有n(3，6,2)又n(7,7，7)(3，6,2)77.而|n|7，h11.3.如图所示，ABCDEFGH为边长等于1的正方体，若点P在正方体的内部且满足.则点P到直线AB的距离为_答案解析建立空间坐标系，则B(0,1,0)，D(1,0,0)，A(0,0,0)，E(0,0,1)，(，)，P点到AB的距离为.