【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：4.7.docx

第四章 4.7第7课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋bc，则∠A＝(　　)
A．60°　　　B．45°　　　C．120°　　　D．30°
答案　C
解析　cosA＝＝＝－，∴∠A＝120°.
2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝，a＝，b＝1，则c等于(　　)
A．1　　　B．2 C.－1　　　D.
答案　B
解析　由正弦定理＝，可得＝，
∴sinB＝，故∠B＝30°或150°.由a>b，
得∠A>∠B，∴∠B＝30°.
故∠C＝90°，由勾股定理得c＝2.
3．在△ABC中，若sinA·sinB<cosA·cosB，则此三角形的外心位于它的(　　)
A．内部 B．外部
C．一边上 D．以上都有可能
答案　B
解析　sinAsinB<cosAcosB
即cosAcosB－sinAsinB>0，∴cos(A＋B)>0
∴A＋B为锐角，∴C为钝角
∴△ABC为钝角三角形，外心位于它的外部．
4．在△ABC中，三内角A、B、C分别对三边a、b、c，tanC＝，c＝8，则△ABC外接圆半径R为(　　)
A．10 B．8
C．6 D．5
答案　D
解析　本题考查解三角形．由题可知应用正弦定理，
由tanC＝⇒sinC＝，
则2R＝＝＝10，故外接圆半径为5.
5．△ABC中，a，b，c分别为∠A、∠B、∠C的对边，假如a，b，c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为0.5，那么b为(　　)
A．1＋ B．3＋
C. D．2＋
答案　C
解析　2b＝a＋c，ac·＝⇒ac＝2，
a2＋c2＝4b2－4，
b2＝a2＋c2－2ac·⇒b2＝⇒b＝.
6．在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为(　　)
A. B.
C.或 D.或
答案　D

解析　如图，由正弦定理得
sinC＝＝，而c>b，
∴C＝60°或C＝120°，
∴A＝90°或A＝30°，
∴S△ABC＝bcsinA＝或.
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案　A
解析　由sinC＝2sinB可得c＝2b，由余弦定理得cosA＝＝＝，于是A＝30°，因此选A.
8．在△ABC中，若(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab且sinC＝2sinAcosB，则△ABC是(　　)
A．等边三角形
B．等腰三角形，但不是等边三角形
C．等腰直角三角形
D．直角三角形，但不是等腰三角形
答案　A
解析　∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
即a2＋b2－c2＝ab，
∴cosC＝＝，∴C＝60°.
又sinC＝2sinAcosB，
由sinC＝2sinA·cosB得c＝2a·，
∴a2＝b2，∴a＝b.∴△ABC为等边三角形．
二、填空题
9．已知△ABC的三个内角A，B，C，B＝且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．
答案　
解析　在△ABD中，B＝，BD＝2，AB＝1，
则AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos＝3.
所以AD＝.
10．已知a，b，c分别是ΔABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sin A＝________.
答案　
解析　由A＋C＝2B，且A＋B＋C＝180°，得B＝60°，由正弦定理得＝，∴sin A＝.
11．在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，则角A的大小为________．
答案　
解析　由sin B＋cos B＝sin(B＋)＝得sin(B＋)＝1，所以B＝.由正弦定理＝得sin A＝＝＝，所以A＝或(舍去)．
12．对于△ABC，有如下命题：①若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形；②若sinA＝cosB，则△ABC为直角三角形；③若sin2A＋sin2B＋cos2C<1，则△ABC为钝角三角形．其中正确命题的序号是________．(把你认为全部正确的都填上)
答案　③
解析　①sin2A＝sin2B，
∴
故①不对．
②sinA＝cosB，∴A－B＝或A＋B＝.
∴△ABC不愿定是直角三角形．
③sin2A＋sin2B<1－cos2C＝sin2C，
∴a2＋b2<c2.
∴△ABC为钝角三角形．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则等于________．
答案　
解析　A、C恰好为椭圆的两焦点，∠A、∠C所对的边之和BC＋AB＝2a＝10，∠B所对边AC＝2c＝8，由＝＝得＝＝.
三、解答题
14．ΔABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sin B＝，cos ∠ADC＝，求AD.
解析　由cos ∠ADC＝>0知B<.
由已知得cos B＝，sin∠ADC＝.
从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)
＝×－×＝.
由正弦定理得＝.
所以AD＝＝＝25.
15．已知△ABC中，∠B＝45°，AC＝，cosC＝.
(1)求BC边的长；
(2)记AB的中点为D，求中线CD的长．
解析　(1)由cosC＝得sinC＝，
sinA＝sin(180°－45°－C)
＝(cosC＋sinC)＝.
由正弦定理知
BC＝·sinA＝·＝3.
(2)AB＝·sinC＝·＝2.
BD＝AB＝1.由余弦定理知
CD＝
＝＝.
讲评　解斜三角形的关键在于机敏地运用正弦定理和余弦定理，娴熟把握用正弦定理和余弦定理解决问题，要留意由正弦定理＝求B时，应对解的个数进行争辩；已知a，b，A，求c时，除用正弦定理＝外，也可用余弦定理a2＝b2＋c2－2abcosA求解．
16．在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m＝(2sinB，－)，n＝(cos2B,2cos2－1)，且m∥n.
(Ⅰ)求锐角B的大小；
(Ⅱ)假如b＝2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．
解析　(Ⅰ)m∥n⇒2sinB(2cos2－1)＝－cos2B⇒2sinBcosB＝－cos2B⇒tan2B＝－.
∵0<2B<π，∴2B＝，∴B＝.
(Ⅱ)已知b＝2，由余弦定理，得：
4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac(当且仅当a＝c＝2时等号成立)．
∵△ABC的面积S△ABC＝acsinB＝ac≤，
∴△ABC的面积S△ABC的最大值为.

拓展练习·自助餐

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若∠C＝120°，c＝a，则(　　)
A．a>b
B．a<b
C．a＝b
D．a与b的大小关系不能确定
答案　A
解析　c2＝a2＋b2－2abcos 120°⇒a2－b2－ab＝0⇒b＝<a，故选A.
2．在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos 2C＝－.
(1)求sin C的值；
(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长．
解析　(1)由于cos 2C＝1－2sin2C＝－，及0<C<π，所以sin C＝.
(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，由正弦定理＝，得
c＝4.
由cos 2C＝2cos2C－1＝－，及0<C<π得
cos C＝±.
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得
b2±b－12＝0，
解得b＝或2，
所以或
3．在△ABC中，A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，设a、b、c满足条件b2＋c2－bc＝a2和＝＋，求A和tanB.
思路点拨　本题已知b2＋c2－bc＝a2，从该式的结构特点及所求结论可以看出，可直接运用余弦定理求A.再由正弦定理，实现边角转化，即将化为，再用A＋B＋C＝π，得出C＝π－A－B，从而求出tanB的值．
解析　方法一　∵b2＋c2－bc＝a2，∴b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得
cosA＝＝＝.
又∵A为三角形一内角，∴A＝.
在△ABC中，C＝π－(A＋B)＝π－－B＝－B.
由已知条件及正弦定理得
＋＝＝＝
＝＝cotB＋.
解得cotB＝2，∴tanB＝.
方法二　∵b2＋c2－bc＝a2，∴b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cosA＝＝＝.
又∵A为三角形一内角，∴A＝.
又∵b2＋c2－bc＝a2，
∴1＋()2－＝()2，
即1＋(＋)2－(＋)＝()2.
∴()2＝.∴＝.
由正弦定理得
sinB＝sinA＝×＝.
又∵a>b，∴A>B.∴B为锐角．∴cosB＝.
∴tanB＝＝.
4．设函数f(x)＝cos(x＋π)＋2cos2，x∈R.
(1)求f(x)的值域；
(2)记ΔABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f(B)＝1，b＝1，c＝，求a的值．
解析　(1)f(x)＝cos xcos π－sin xsin π＋cos x＋1
＝－cos x－sin x＋cos x＋1
＝cos x－sin x＋1
＝sin(x＋)＋1，
因此f(x)的值域为[0,2]．
(2)由f(B)＝1得sin(B＋)＋1＝1，即sin(B＋)＝0，又因0<B<π，故B＝.
解法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得a2－3a＋2＝0，解得a＝1或2.
解法二：由正弦定理＝，得sin C＝，C＝或.当C＝时，A＝，从而a＝＝2；当C＝π时，A＝，又B＝，从而a＝b＝1.
故a的值为1或2.

老师备选题

1．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，，，则此人能(　　)
A．不能作出这样的三角形 B．作出一个锐角三角形
C．作出一个直角三角形 D．作出一个钝角三角形
答案　D
解析　设三边分别为a，b，c，利用面积相等可知
a＝b＝c，∴a∶b∶c＝13∶11∶5
由余弦定理得cos A＝<0，所以角A为钝角．
2． E，F是等腰直角ΔABC斜边AB上的三等分点，则tan ∠ECF＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　设AC＝1，则AE＝EF＝FB＝AB＝，由余弦定理得CE＝CF＝＝，所以cos ∠ECF＝＝，所以tan∠ECF＝＝＝.
3．某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为(　　)

A．2sinα－2cosα＋2
B．sinα－cosα＋3
C．3sinα－cosα＋1
D．2sinα－cosα＋1
答案　A
解析　四个等腰三角形的面积之和为4××1×1×sinα＝2sinα.再由余弦定理可得正方形的边长为＝，故正方形的面积为2－2cosα，所以所求八边形的面积为2sinα－2cosα＋2.
4．有一解三角形的题，因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC中，已知a＝，2cos2＝(－1)cosB，________，求角A.
经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A＝60°，试将条件补充完整，并写出具体的推导过程．
分析　本题简洁产生的错误是忽视验证结果而填写b＝.利用正余弦定理解题，留意利用三角形内角和定理与大边对大角定理进行验证结果是否正确．
解析　将A＝60°看作已知条件，
由2cos2＝(－1)cosB，
得cosB＝，∴B＝45°.
由＝，得b＝.
又C＝75°，得sinC＝sin(30°＋45°)＝.
由＝，得c＝.
若已知条件为b＝，
且由已知得B＝45°，
则由＝，得sinA＝，
∴A＝60°或120°不合题意．
若已知条件为c＝，
则b2＝a2＋c2－2accosB，
∴b＝，cosA＝＝，
∴A＝60°.
综上所述，破损处的已知条件为c＝.
5．已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；
(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c＝，f(C)＝0，若向量m＝(1，sinA)与向量n＝(2，sinB)共线，求a，b的值．
解　(1)∵f(x)＝sin2x－－＝sin(2x－)－1，∴函数f(x)的最小值是－2，最小正周期是T＝＝π.
(2)由题意得f(C)＝sin(2C－)－1＝0，则sin(2C－)＝1，∵0<C<π，∴0<2C<2π，∴－<2C－<π，∴2C－＝，C＝，
∵向量m＝(1，sinA)与向量n＝(2，sinB)共线，∴＝，
由正弦定理得，＝，①
由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos，即3＝a2＋b2－ab，②
由①②解得a＝1，b＝2.