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第9讲 函数的应用
一、选择题
1．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家猜想经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为 ( )．
解析 由题意可得y＝(1＋10.4%)x.
答案 D
2．甲、乙两人沿同一方向去地，途中都使用两种不同的速度．甲一半路程使用速度，另一半路程使用速度，乙一半时间使用速度，另一半时间使用速度，甲、乙两人从地到地的路程与时间的函数图象及关系，有下面图中个不同的图示分析（其中横轴表示时间，纵轴表示路程），其中正确的图示分析为（ ）．
A．(1) B．(3) C．(1)或(4) D. (1)或(2)
（1） （2） （3） （4）
解析 依据题目描述分析图像可知D正确
答案 D
3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为 ( )．
A．45.606万元 B．45.6万元
C．45.56万元 D．45.51万元
解析 依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，总利润S＝L1＋L2，则总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋0.15×10.22＋30(x≥0)，∴当x＝10时，Smax＝45.6(万元)．
答案 B
4．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运多少年时，其营运的年平均利润最大 ( )．
A．3 B．4 C．5 D．6
解析 由题图可得营运总利润y＝－(x－6)2＋11，则营运的年平均利润＝－x－＋12，
∵x∈N*，∴≤－2 ＋12＝2，
当且仅当x＝，即x＝5时取“＝”．
∴x＝5时营运的年平均利润最大．
答案 C
5．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x，y剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f(x)，则y＝f(x)的图象是 ( )．
解析 由题意得2xy＝20，即y＝，当x＝2时，y＝5，当x＝10时，y＝1时，排解C，D，又2≤x≤10，排解B.
答案 A
6．某厂有很多外形为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为( )．
A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14
解析 由三角形相像得＝，
得x＝(24－y)，
∴S＝xy＝－(y－12)2＋180，
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
答案 A
二、填空题
7．为了保证信息平安，传输必需使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：
明文密文密文明文
已知加密为y＝ax－2(x为明文，y为密文)，假如明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．
解析 依题意y＝ax－2中，当x＝3时，y＝6，故6＝a3－2，解得a＝2.所以加密为y＝2x－2，因此，当y＝14时，由14＝2x－2，解得x＝4.
答案 4
8．某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，依据市场猜想，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就削减5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件________元．
解析 设售价提高x元，则依题意
y＝(1 000－5x)×(20＋x)
＝－5x2＋900x＋20 000
＝－5(x－90)2＋60 500.
故当x＝90时，ymax＝60 500，此时售价为每件190元．
答案 190 元
9．现有含盐7%的食盐水为200 g，需将它制成工业生产上需要的含盐5 %以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需要加入4%的食盐水x g，则x的取值范围是__________．
解析 依据已知条件：设y＝，令5%＜y＜6%，即(200＋x)5%＜200×7%＋x·4%＜(200＋x)6%，解得100＜x＜400.
答案 (100,400)
10．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
解析 由已知条件y＝
由y＝22.6解得x＝9.
答案 9
三、解答题
11．为了进展电信事业便利用户，电信公司对移动电话接受不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y(元)的关系分别如图①、②所示．
(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；
(2)请挂念用户计算，在一个月内使用哪种卡廉价？
解 (1)由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1，y2得k1＝，k2＝.
∴y1＝x＋29，y2＝x.
(2)令y1＝y2，即x＋29＝x，则x＝96.
当x＝96时，y1＝y2，两种卡收费全都；
当x<96 时，y1>y2，即使用“便民卡”廉价；
当x>96时，y1<y2，即使用“如意卡”廉价．
12．某单位有员工1 000名，平均每人每年制造利润10万元．为了增加企业竞争力，打算优化产业结构，调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年制造利润为10万元(a>0)，剩下的员工平均每人每年制造的利润可以提高0.2x%.
(1)若要保证剩余员工制造的年总利润不低于原来1 000名员工制造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
(2)在(1)的条件下，若调整出的员工制造的年总利润始终不高于剩余员工制造的年总利润，则a的取值范围是多少？
解 (1)由题意得：10(1 000－x)(1＋0.2x%)≥10×1 000，
即x2－500x≤0，又x>0，所以0<x≤500.
即最多调整500名员工从事第三产业．
(2)从事第三产业的员工制造的年总利润为10x万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1 000－x)(1＋0.2x%)万元，则10x≤10(1 000－x)(1＋0.2x%)，所以ax－≤1 000＋2x－x－x2，
所以ax≤＋1 000＋x，即a≤＋＋1恒成立，
由于x＋≥2 ＝4，
当且仅当＝，即x＝500时等号成立．
所以a≤5，又a>0，所以0<a≤5，即a的取值范围为(0,5]．
13.某市出租车的计价标准是：3 km以内(含3 km)10元；超过3 km但不超过18 km的部分1元/km；超出18 km的部分2元/km.
(1)假如某人乘车行驶了20 km，他要付多少车费？某人乘车行驶了x km，他要付多少车费？
(2)假如某人付了22元的车费，他乘车行驶了多远？
解 (1)乘车行驶了20 km，付费分三部分，前3 km付费10(元)，3 km到18 km付费
(18－3)×1＝15(元)，18 km到20 km付费(20－18)×2＝4(元)，总付费10＋15＋4＝29(元)．
设付车费y元，当0<x≤3时，车费y＝10；
当3<x≤18时，车费y＝10＋(x－3)＝x＋7；
当x>18时，车费y＝25＋2(x－18)＝2x－11.
(2)付出22元的车费，说明此人乘车行驶的路程大于3 km，且小于18 km，前3 km付费10元，余下的12元乘车行驶了12 km，故此人乘车行驶了15 km.
14．某学校要建筑一个面积为10 000平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形ABCD和分别以AD、BC为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元．
(1)设半圆的半径OA＝r(米)，设建立塑胶跑道面积S与r的函数关系S(r)；
(2)由于条件限制r∈[30,40]，问当r取何值时，运动场造价最低？最低造价为多少？(精确到元)
解 (1)塑胶跑道面积
S＝π[r2－(r－8)2]＋8××2
＝＋8πr－64π.∵πr2＜10 000，∴0＜r＜.
(2)设运动场的造价为y元，
y＝150×＋30×
＝300 000＋120×－7 680π.
令f(r)＝＋8πr，∵f′(r)＝8π－，
当r∈[30,40]时，f′(r)＜0，
∴函数y＝300 000＋120×－7 680π在[30,40]上为减函数．∴当r＝40时，ymin≈636 510，
即运动场的造价最低为636 510元.
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