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第三节 用样本估量总体
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为( )
A.0.2 B．0.4
C．0.5 D．0.6
解析 由茎叶图可知数据落在区间[22,30)内的频数为4，所以数据落在区间[22,30)内的频率为＝0.4，故选B.
答案 B
2．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测， 如图为检测结果的频率分布直方图. 依据标准， 产品长度在区间[20,25)上为一等品， 在区间[15,20)和[25,30)上为二等品， 在区间[10,15)和[30,35)上为三等品. 用频率估量概率， 现从该批产品中随机抽取1件， 则其为二等品的概率是( )
A．0.09 B．0.20
C．0.25 D．0.45
解析 由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间[25,30)上的频率为1－5×(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)＝0.25，则二等品的频率为0.25＋0.04×5＝0.45，故任取1件为二等品的概率为0.45.
答案 D
3．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经受的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是( )
解析 由茎叶图知，各组频数统计如下表：
分组
区间
[0,5)
[5,10)
[10，
15)
[15，
20)
[20，
25)
[25，
30)
[30，
35)
[35，
40)
频数
统计
1
1
4
2
4
3
3
2
上表对应的频率分布直方图为A，故选A.
答案 A
4．为了普及环保学问，增加环保意识，某高校随机抽取30名同学参与环保学问测试，得分(格外制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值为，则( )
A．me＝mo＝ B．me＝mo<
C．me<mo< D．mo<me<
解析 30个数中第15个数是5，第16个数是6，所以中位数me＝＝5.5，众数mo＝5，平均值＝＝.
答案 D
5．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为，方差为s2，则( )
A.＝5，s2<2 B.＝5，s2>2
C.>5，s2<2 D.>5，s2>2
解析 考查样本数据的平均数及方差．
∵(x1＋x2＋…＋x8)＝5，∴(x1＋x2＋…＋x8＋5)＝5，
∴＝5，由方差定义及意义可知加入新数据5后，样本数据取值的稳定性比原来强，
∴s2<2，故选A.
答案 A
6．甲、乙、丙、丁四人参与某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成果和方差如表所示：
甲
乙
丙
丁
平均环数
8.3
8.8
8.8
8.7
方差s2
3.5
3.6
2.2
5.4
从这四个人中选择一人参与该运动会射击项目竞赛，最佳人选是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析 由题目表格中数据可知，丙平均环数最高，且方差最小，说明丙技术稳定，且成果好，选C.
答案 C
二、填空题
7．某校进行2022年元旦汇演，九位评委为某班的节目打出的分数(百分制)如茎叶统计图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数为________.
解析 依据茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，得到的数据为七个，中位数为85.
答案 85
8．(2021·武汉调研)
某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．则
(1)图中的x＝________；
(2)若上学所需时间不少于1小时的同学可申请在学校住宿，则该校600名新生中估量有________名同学可以申请住宿．
解析 由频率分布直方图知20x＝1－20×(0.025＋0.006 5＋0.003＋0.003)，解得x＝0.012 5.上学时间不少于1小时的同学频率为0.12，因此估量有0.12×600＝72人可以申请住宿．
答案 0.012 5 72
9．(2022·安徽联考)已知x是1,2,3，x,5,6,7这七个数据的中位数，且1,3，x，－y这四个数据的平均数为1，则＋y的最小值为__________．
解析 由已知得3≤x≤5，＝1，∴y＝x，
∴＋y＝＋x，又函数y＝＋x在[3,5]上单调递增，∴当x＝3时取最小值.
答案
三、解答题
10．已知某单位有50名职工，现在从中抽取10名职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号挨次平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．
(1)若第5组抽出的号码为22，写出全部被抽出职工的号码；
(2)分别统计这10名职工的体重(单位：kg)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；
(3)在(2)的条件下，从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73 kg(≥73 kg)的职工，求体重为76 kg的职工被抽取到的概率．
解 (1)由题意知第5组抽出的号码为22.
∵2＋5×(5－1)＝22，∴第1组抽出的号码应当为2，抽出的10名职工的号码分别为2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.
(2)∵10名职工的平均体重为＝(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，
∴样本方差为s2＝(81－71)2＋(70－71)2＋(73－71)2＋(76－71)2＋(78－71)2＋(79－71)2＋(62－71)2＋(65－71)2＋(67－71)2＋(59－71)2＝52.
(3)从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73 kg的职工，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．
∴体重为76 kg的职工被抽取到的概率为＝.
11．为了增加同学的环保意识，某中学随机抽取了50名同学进行了一次环保学问竞赛，并将本次竞赛的成果(得分均为整数，满分100分)整理，制成下表：
成果
[40，
50)
[50，
60)
[60，
70)
[70，
80)
[80，
90)
[90，
100]
频数
2
3
14
15
12
4
(1)作出被抽查同学成果的频率分布直方图；
(2)若从成果在[40,50)中选一名同学，从成果在[90,100]中选2名同学，共3名同学召开座谈会，求[40,50)组中同学A1和[90,100]组中同学B1同时被选中的概率．
解 (1)由题意可知，各组频率分别为0.04,0.06,0.28,0.30,0.24,0.08，
所以图中各组的纵坐标分别为：0.004,0.006,0.028,0.030,0.024,0.008，则被抽查同学成果的频率分布直方图如图所示：
(2)记[40,50)组中的同学为A1，A2，[90,100]组中的同学为B1，B2，B3，B4，A1和B1同时被选中记为大事M.
由题意可得，全部的基本大事为：A1B1B2，A1B1B3，A1B1B4，A1B2B3，A1B2B4，A1B3B4，A2B1B2，A2B1B3，A2B1B4，A2B2B3，A2B2B4，A2B3B4，共12个，
大事M包含的基本大事为：A1B1B2，A1B1B3，A1B1B4，共3个，所以同学A1和B1同时被选中的概率P(M)＝＝.
1．如图是依据某城市年龄在20岁到45岁在居民上网状况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[35,40)的网民消灭的频率为( )
A．0.04 B．0.06
C．0.2 D．0.3
解析 由频率分布直方图可知，年龄在[20,25)的频率为0.01×5＝0.05，[25,30)的频率为0.07×5＝0.35，又年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45]的频率成等差数列分布，所以年龄在[35,40)的网民消灭的频率为0.2.
答案 C
2．一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3＝8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )
A．13,12 B．13,13
C．12,13 D．13,14
解析 设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，a3＝8，a1a7＝(a3)2＝64，(8－2d)(8＋4d)＝64，(4－d)(2＋d)＝8,2d－d2＝0，又d≠0，故d＝2，故样本数据为：4、6、8、10、12、14、16、18、20、22，平均数为＝＝13，中位数为＝13.
答案 B
3．关于统计数据的分析，有以下5种说法：
①一组数不行能有两个众数；
②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化；
③调查影剧院中观众观看感受时，从50排(每排人数相同)中任意取一个排的人参与调查，属于分层抽样；
④一组数据的方差肯定是正数；
⑤如图是随机抽取的200辆汽车通过某一段大路时的时速分布直方图，依据这个直方图，可以得到时速在[50,60)的汽车大约是60辆．
这5种说法中错误的是________．(填序号)
解析 ①一组数不行能有两个众数，这个说法是错误的，比如1,1,2,2,3这组数据的众数有两个；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化，说法正确，∵方差反映一组数据的波动大小，整体变化不转变波动大小；③调查观众观看某部电影的感受时，从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的观众进行调查，属于简洁随机抽样，故③错误；④一组数据的方差肯定是正数是错误的，还有可能是0；⑤时速在[50,60)的频率为0.3，∴时速在[50,60)的汽车大约有200×0.3＝60(辆)，∴⑤正确，∴这5种说法中错误的是①③④.
答案 ①③④
4．(理)(2022·辽宁五校摸底)某市为预备参与省中同学运动会，对本市甲、乙两个田径队的全部跳高运动员进行了测试，用茎叶图表示出甲、乙两队运动员本次测试的跳高成果(单位：cm，且均为整数)，同时对全体运动员的成果绘制了频率分布直方图．跳高成果在185 cm以上(包括185 cm)定义为“优秀”，由于某些缘由，茎叶图中乙队的部分数据丢失，但已知全部运动员中成果在190 cm以上(包括190 cm)的只有两个人，且均在甲队．
(1)求甲、乙两队运动员的总人数a及乙队中成果在[160,170)(单位：cm)内的运动员人数b；
(2)在甲、乙两队全部成果在180 cm以上的运动员中随机选取2人，已知至少有1人成果为“优秀”，求两人成果均“优秀”的概率；
(3)在甲、乙两队中全部的成果为“优秀”的运动员中随机选取2人参与省中同学运动会正式竞赛，求所选取运动员中来自甲队的人数X的分布列及期望．
解 (1)由频率分布直方图可知，成果在190 cm以上的运动员频率为0.05，∴运动员总人数为a＝＝40(人)．
乙队中成果在[160,170)内的运动员人数b＝40×0.3－3＝9(人)．
(2)由频率分布直方图可知，乙队成果在180 cm以上的有3人，全体队员成果在180 cm以上的共有10人，其中成果优秀的有6人．
设至少有1人成果“优秀”为大事A，两人成果“优秀”为大事B，
则P(B|A)＝＝＝.
(3)成果“优秀”的运动员共6人，甲队4人，乙队2人．
随机变量X全部可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝＝，∴X的分布列为
X
0
1
2
P
数学期望E(X)＝＋＝＝.
(文)(2022·北京卷)从某校随机抽取100名同学，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图.
组号
分组
频数
1
[0,2)
6
2
[2,4)
8
3
[4,6)
17
4
[6,8)
22
5
[8,10)
25
续表
6
[10,12)
12
7
[12,14)
6
8
[14,16)
2
9
[16,18)
2
合计
100
(1)从该校随机选取一名同学，试估量这名同学该周课外阅读时间少于12小时的概率；
(2)求频率分布直方图中的a，b的值；
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估量样本中的100名同学该周课外阅读时间的平均数在第几组．(只需写出结论)
解 (1)依据频数分布表，100名同学中课外阅读时间不少于12小时的同学共有6＋2＋2＝10名，所以样本中的同学课外阅读时间少于12小时的频率是1－＝0.9.
从该校随机选取一名同学，估量其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.
(2)课外阅读时间落在组[4,6)的有17人，频率为0.17, 所以a＝＝＝0.085.
课外阅读时间落在组[8,10)的有25人，频率为0.25，所以b＝＝＝0.125.
(3)样本中的100名同学课外阅读时间的平均数在第4组．
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