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沈阳二中2022-2021学年度上学期期末考试
高二（16届）理科数学试题
命题人：高二数学组
说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分
2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上
第Ⅰ卷（60分）
一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1.已知命题：，，那么命题为（ ）
A．
B．
C.
D．
2. 已知,则下列不等关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3. 设直线:,双曲线,则“”是“直线与双曲线C恰有一个公共点“的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分条件
D．既不充分也不必要条件
4. 有下列四个命题：
(1)已知A，B，C，D是空间任意四点，则；
(2)若两个非零向量满足,则‖；
(3)分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是
共面对量；
(4)对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若
,则P,A,B,C四点共面。
其中正确命题的个数是（ ）
A.3
B.2
C.1
D.0
5.设变量x,y满足约束条件，则目标函数的最大值是（ ）
A.4
B.2
C.1
D.
6. 空间四边形OABC中，,, ,点M在OA上，且，N为BC中点，则=（ ）
A．
B．
C．
D．
7.已知数列是等比数列，其前n项和为，若（ ）
A.9
B.18
C.64
D.65
8.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该抛物线的准线被双曲线所截的线段长度为（ ）
A.4
B.5
C.
D.
9.定义为个正数的“均倒数”.若已知正数数列的前项的“均倒数”为,又,则 ( )
A.
B.
C.
D.
10.已知是抛物线上的一个动点,是圆上的一个动点,是一个定点,则的最小值为（ ）
A.3
B.4
C.5
D.
11.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为1,棱BB1所在直线上的动点M满足,AM与侧面BB1C1C所成的角为,若,则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
12.已知双曲线是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，直线PM，PN的斜率分别为，若的最小值为1，则双曲线的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷（90分）
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）
13. 若同方向的单位向量是________________
14. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，则的值为 _______ .
15. 平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为60°，则和所成角大小为____________.
16. 若,且,则的最小值为___________.
三、解答题（共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17、（本小题满分12分）已知命题p：方程有两个不相等的实根；q：不等式的解集为R；若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围。
18.（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为,且.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若数列满足,求数列的前项和.
19.（本小题满分12分）设双曲线的两个焦点分别为,离心率为2.
(Ⅰ)求此双曲线的渐近线l1，l2的方程；
(Ⅱ)若A，B分别为l1，l2上的点，且2|AB|=5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
20.（本小题满分12分）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=.
(Ⅰ)若点M是棱PC的中点,求证:PA // 平面BMQ;
(Ⅱ)求证:若二面角M-BQ-C为30°,试求的值。
P
A
B
C
D
Q
M
21.（本小题满分12分）椭圆C：的长轴是短轴的两倍，点在椭圆上.不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为、、，且、、恰好构成等比数列，记△的面积为S.
(Ⅰ)求椭圆C的方程.
(Ⅱ)试推断是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？
(Ⅲ)求S的范围.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是:(是参数).
(Ⅰ) 若直线l与曲线C相交于A、B两点,且,试求实数m值.
(Ⅱ) 设为曲线上任意一点，求的取值范围.
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设不等式的解集为A，且
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)求函数的最小值。
沈阳二中2022-2021学年度上学期期末考试
高二（16届）理科数学试题答案
一．选择题：1-5CCABC 6-12BDBCA BB
二．填空题：13. （0，，） 14. 15. 16.
三．解答题：
17、 解：由于方程x 2 + mx + 1=0有两个不相等的实根，
所以Δ1=m 2 – 4>0, ∴m>2或m < – 2 …………3分
又由于不等式4x 2 +4(m – 2)x + 1>0的解集为R，
所以Δ2=16(m – 2) 2– 16<0, ∴1< m <3 …………6分
由于p或q为真，p且q为假，所以p与q为一真一假， …………8分
（1）当p为真q为假时，…………10分
（2）当p为假q为真时，
综上所述得：m的取值范围是或 …………12分
18. （I）设an首项为a1，公差为d，则解得a1=19,d=-2
∴an=19+（n-1）×（-2）=21-2n…………（4分）
（II）∵bn=ancos（nπ）+2n=（-1）nan+2n
当n为偶数时，Tn=b1+b2++bn=（-a1+2）+（a2+22）+（-a3+23）+…+（an+2n）
=(-2)×…………(7分)
当n为奇数时，Tn=b1+b2++bn=（-a1+2）+（a2+22）+（-a3+23）+…+（-an+2n）
=-a1+(a2-a3)+…+(an-1-an)+=-19+2×+2n+1-2=2n+1+n-22 …………………（10分）
∴Tn= ………………（12分）
19. 解：（Ⅰ） ∵e=2，∴c2=4a2，
∵c2=a2+3，∴a=1，c=2，
∴双曲线方程为，渐近线方程为y=±x；…………（4分）
（Ⅱ）设A（x1， y1），B（x2， y2），AB的中点M（x，y）
∵∴=10
∴=10…………（6分）
又∵y1=x1，y2=x2，2x=x1+x2，2y=y1+y2
∴y1+y2=（x1-x2），y1-y2=（x1+ x2）
∴=10
∴3（2y）2+（2x）2=100∴，即为M的轨迹方程。 …………（10分）
则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上长轴长为，短轴长为的椭圆。……（12分）
20. 解:证明:(Ⅰ)连接AC,交BQ于N,连接MN
∵BC∥AD且BC=AD,即BCAQ.
∴四边形BCQA为平行四边形,且N为AC中点,
又∵点M是棱PC的中点,
∴ MN // PA
∵ MN平面MQB,PA平面MQB,
∴ PA // 平面MBQ ……………………………… 4分
(Ⅱ) ∵PA=PD,Q为AD的中点, ∴PQ⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴PQ⊥平面ABCD
∵AD // BC,BC=AD,Q为AD的中点,
∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD // BQ
∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD. ……………………………… 6分
如图,以Q为原点建立空间直角坐标系.
P
A
B
C
D
Q
M
N
x
y
z
则平面BQC的法向量为;
,,,
则,设,
在平面MBQ中,，
, ………………8分
∴ 平面MBQ法向量为 ………………10分
∵二面角M-BQ-C为30°, ,∴ （舍）
∴ ………………12分
21. （1）由题意可知且，
所以椭圆的方程为……………………………… 3分
（2）设直线的方程为（m≠0），由
……………………………… 4分
恰好构成等比数列.
=
即
……………………………… 6分
此时且
得0＜m2＜2，且m2≠1（否则：x1x2=0，则x1，x2中至少有一个为0，直线OM、ON中至少有一个斜率不存在，冲突！）………………… 7分
=
=
所以是定值为5. ………………………… 8分
（3）
==
= (0＜m2＜2，且m2≠1) ……………………………… 10分
S ……………………………… 12分
22. 解法一: (I)曲线C的极坐标方程是化为直角坐标方程为:
直线的直角坐标方程为:
圆心到直线l的距离
或
解法二:把(是参数)代入方程,
得,
.
或
(2)曲线的方程可化为，其参数方程为
为曲线上任意一点，
的取值范围是
23.（1）由已知可得，所以，由于，所以a=2………………4分
（2）由于
所以f(x)的最小值是4. ………………………10分
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